Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern

Question

Aufgabe: Ein Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern ( eines für jede natürliche Zahl) ist immer voll besetzt und niemand entscheidet sich zu verreisen. Es ist dennoch immer möglich Platz für einen zusätzlichen gast zu finden, indem jeder vorhandene Gast aufgefordert wird in das Zimmer mit der nächsthöheren Nummer zu ziehen. So kann der neue Gast Zimmer 1 belegen.

a) Es werden nun keine weiteren Gäste aufgenommen und die Gäste entscheiden sich jede Nacht in ein neues Zimmer zu ziehen. Können die Gäste jede Nacht das Zimmer wechseln, ohne jemals dasselbe zu belegen wenn das Hotel eine Strikte Regel hat, dass jedes Zimmer in jeder Nacht besetzt sein muss?

b) Es wurden abzählbar unendlich viele neue Stockwerke hinzugefügt und nun soll in den zuvor vorhandenen Zimmern ein unendliches Buffetrestaurant eingerichtet werden, sodass alle Gäste aus ihren alten Zimmern in die neuen Zimmer in den oberen Stockwerken umziehen müssen. Wie lässt sich jedem Gast ein neues Zimmer zuweisen, ohne dass ein Zimmer in den oberen Stockwerken leer steht?

Problem/Ansatz:

Ich sitze schon ne weile an der Aufgabe und brauche Hilfe

a) hätte gedacht nein, weil wenn alle ein zimmer weitergehen mussder "letzte" zuruck in zimmer 1, damit dieses belegt ist, dies geschieht immer wieder bis der Gast, welcher bei Zimmer 1 startet wieder bei Zimmer 1 ankommt.

b) kann man nicht einfach sagen das der Gast in Zimmer 1 in das erste Zimmer im oberen Stockwerk zieht, der Gast in Zimmer 2 dann in das zweite? oder vertehe ich hier irgendetwas nicht

Comments

"Ich sitze schon ne Weile an der Aufgabe und brauche Hilfe"

Offensichtlich hast du noch nie etwas von Hilberts Hotel gehört und auch noch nie etwas über Abzählbarkeit (bzw. Überabzählbarkeit) gehört oder gelesen.

Eine schöne Aufgabe als Ergänzung:

Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer. Eines Tages treffen unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Fahrgästen an Hilberts Hotel ein. Jeder möchte ein Einzelzimmer. Kann man alle Gäste im Hotel unterbringen?

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Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer. Eines Tages treffen unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Fahrgästen an Hilberts Hotel ein. Jeder möchte ein Einzelzimmer. Kann man alle Gäste im Hotel unterbringen?

Hier wird doch der Teufel mit dem Beelzebul ausgetrieben:

Wenn man sich schon unter unendlich vielen Zimmer nichts vorstellen kann,

dann erst recht nicht unter dem restlichen Unendlichen.

Das ist der Versuch, den Verstang zu verhexen wie viele Leerformeln in Philosophie

und Theologie, Politik etc.

Wittgenstein würde heftig protestieren über soviel Unfug,

Etwas Undefinierbares mit weiterem Undefinierbaren definieren wollen ist mMn absurdes Theater

mit dem Ziel, den gesunden Menschenverstand zu verhexen.

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Hallo ggT22: Meinst du mit diesem Kommentar den Erfinder von Hilberts Hotel? Dann hast du ihn gründlich missverstanden. Er wollte nicht, dass man sich unter dem Unendlichen irgend etwas vorstellt oder das Unendliche für undefinierbar erklären, sondern ein Gedankenexperiment zur abzählbaren Unendlichkeit anregen. Dieser Anregung willst du offenbar nicht folgen und auch nicht meiner weitergehenden Anregung.

PS.: Liest du dir eigentlich vor dem Absenden durch, was du geschrieben hast?

Beelzebul = Beelzebub ?

Verstang = Verstand ?

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Ich übersehe Tippfehler.

Meine Sehkraft ist eingeschränkt.

Dieser Anregung willst du offenbar nicht folgen und auch nicht meiner weitergehenden Anregung.

Es solche abstrusen bis absurden Sachen lasse ich mich nicht ein.

Ich habe mal ein Video dazu gesehen und war restlos bedient.

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Es geht aus meiner Sicht nicht nur um die Einschränkung deiner Sehkraft - für die du mein Verständnis und mein Mitgefühl voraussetzen darfst. Für weitere Einschränkungen deiner Kräfte habe ich nicht in jedem Falle Verständnis.

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Meinst du mit diesem Kommentar den Erfinder von Hilberts Hotel?

Ja. Ich halte das für pädagogisch wenig sinnvoll.

Kein Mensch kann dich Unendlichkeit vorstellen, da helfen auch solche Hotelabsurdiäten

nicht weiter.

Genauso kann ich fragen: In was hinein dehnt sich der Kosmos aus?

Was heißt unendliche Ausdehnung? u.a.

Die menschl. Vorstellungskraft hat Grenzen. Das müssen wir akzeptieren.

Und auch Mathematik kann nicht alles beschreiben.

Ebenso nicht die Physik, da z.B bei schwarzen Löchern kollabiert ("unendlich dicht", was soll

das bedeuten?)

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Eine schöne Aufgabe als Ergänzung hat eine Lösung, die sich aus der Bijektivität der Umbettung b) ergibt : Gäste aus Bus n kommen in Etage n, anschließend alle nach unten.

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"Beelzebul" ist durchaus eine mögliche Schreibweise !

https://de.wikipedia.org/wiki/Beelzebub

Answer 1

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel

Comments

danke,

jedoch weiß ich nicht wie ich das auf die Aufgabe beziehen soll?

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Ich nehme an, dass sich die Frage an ggT richtet.
In der Zeit bis er eine Antwort geschrieben hat, könntest du in deinem Gedächtnis die Schublade mit der Aufschrift "Zweierpotenzen" öffnen und dich von ihrem Inhalt zu Strategien für beide Umbettungen inspirieren lassen.

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Eine weitergehende Antwort ist hier wohl nicht zu erwarten

Es solche abstrusen bis absurden Sachen lasse ich mich nicht ein.
Ich habe mal ein Video dazu gesehen und war restlos bedient.

ggT hat sich ja nie wirklich mit Hilberts Hotel beschäftigt, noch hat er es in nächster Zeit vor.

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ggT hat sich ja nie wirklich mit Hilberts Hotel beschäftigt

https://www.youtube.com/watch?v=XTsaZRKx9UI

Ansonstens ist dieser coole Prof. ein ganz passabler, lebendiger Didaktiker.

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Nicht immer ist eine Verlinkung eines Videos hilfreich.

Denn liefert Christian Spannagel eine Antwort oder Erklärung für die obige Frage, die den Fragesteller weiterbringt?

Wie dem auch sei. Wir haben hier ja inzwischen zwei sehr schöne veranschaulichte Methoden, wie man vorgehen könnte.

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Nicht immer ist eine Verlinkung eines Videos hilfreich.

Mir hat sie sehr geholfen, zu erkennen, dass dein Vorwurf ggT hatsich ja nie wirklich mit Hilberts Hotel beschäftigt, noch hat er es in nächster Zeit vor völlig haltlos ist.

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Mir hat sie sehr geholfen, zu erkennen, dass dein Vorwurf ggT hatsich ja nie wirklich mit Hilberts Hotel beschäftigt, noch hat er es in nächster Zeit vor völlig haltlos ist.

Er hat ja auch oben bereits zugegeben, mal ein Video über Hilberts Hotel gesehen zu haben und das habe ihm gelangt. Ebenso hat er geschrieben, dass er den Kram für nicht pädagogisch sinnvoll erachtet und er oder andere sich die Unendlichkeit ja eh nicht vorstellen können.

PS: Ein verlinktes Video muss man nie selbst gesehen haben. Das möchte ich hier aber keinem unterstellen. Trotzdem wäre es ratsam, wenn man ein Video verlinkt, dass man selber den Inhalt versteht und auch sicherstellt, dass das Video auf Fragen, die hier im Forum auftreten, auch einen Ansatz zur Hilfe aufweist.

Grundlagenvideos zu Hilberts Hotel findet man auf YouTube etliche. Nur wenige gehen über das übliche, was in der Uni gelehrt wird, hinaus.

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Ich sage nur: "Stellen Sie sich ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vor"

ist schon Unfug, weil das KEIN Mensch kann.

Es reicht doch schon völlig aus zu wissen, dass man zu jeder natürl. Zahl 1 addieren

kann um einen Begriff von Unendlichkeit zu haben.

Dass es schon zwischen 0 und 1 unendlich nicht abzählbare Zahlen gibt, ist

doch nicht mehr wichtig. Allein an 1,11... kann ich unendlich viele allein Einsen hinzufügen. Das kann sogar ein Grundschüler, der von Kommazahlen gehört hat, schon

verstehen ohne Hilbert und sein Hotel.

Also wozu das Theater?

Was soll an Hilberts Hotel also so toll sein, außer dass es ein Gehirn verhexendes, nettes, aber auch nur trockenes Gedanken-Spielchen, faszinierend und ohne jeden

Lebensbezug. Hören, staunen, vergessen oder merken um damit vlt. anzugeben

auf Partys oder als Quizfrage verwendbar (ab 64000 Euro) bei Jauch und Co. in der Rubrik unnützes Wissen. :)

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PS: Ein verlinktes Video muss man nie selbst gesehen haben.

Ich habe es gesehen vor über 5 Jahren.

und auch sicherstellt, dass das Video auf Fragen, die hier im Forum auftreten, auch einen Ansatz zur Hilfe aufweist.

Ich wollte nur Allgemeines dazu zusätzlich ins Spiel bringen auch um

Meinungen zu evozieren.

Answer 2

a) Am Tag \(n\) wird die Menge der Zimmer aufgeteilt in Abschnitte von je \(2^n\) Zimmern. Die Gäste, die am ersten Tag in der unteren Hälfte eines jeden Abschnitts gewohnt haben, ziehen in die obere Hälfte des jeweiligen Abschnittes und umgekehrt.

Tag 0: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...

Tag 1: 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15 ...

Tag 2: 3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10 15 16 13 14 ...

Tag 3: 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 11 12 ...

Tag 4: 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

b) Auf die n-te Etage kommen die Gäste, deren Zimmernummer eine Primfaktorzerlegung aus genau n Faktoren hatte. Innerhalb einer Etage wird nach Größe der bisherigen Zimmernummer sortiert.

Comments

Ich hatte ja auch bei b) an Zweierpotenzen gedacht : In die n-te Etage kommen die, deren Zimmernummer durch 2^n, aber nicht durch 2ⁿ⁺¹ teilbar ist:

...
3 : 8  24  40  56 ...
2 : 4  12  20  28 ...
1 : 2  6  10  14 ...
0 : 1  3  5  7  9 ...