Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t des Schaubildes der Funktion f

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t des Schaubildes der Funktion f mit

$$f(x)=4x^2-4x+1$$ an der Stelle x_0=2

Problem/Ansatz:

f(x)=4x^2-4x+1

f(-2)=4(-2)^2- 4 (-2)+1=9

f'(x)=8x-4

f'(-2)=0

Punkt (-2|9)

y-9/x+2=0

y=9

Da stimmt doch was nicht was ich hier gemacht habe oder?

Comments

Na ja, da stimmt manches nicht.

Als erstes fällt mir auf, dass \(2\ne -2\) ist.

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Och ne..was habe ich da gemacht

Answer 1

Kurzform:

t(x) = (x-2)*f '(2) +f(2)

einsetzen, Klammer auflösen, zusammenfassen, fertig.

Answer 2

f(x) = 4·x^2 - 4·x + 1
f'(x) = 8·x - 4

a = 2
f(a) = 9
f'(a) = 12

Tangente an der Stelle a

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)
t(x) = 12·(x - 2) + 9
t(x) = 12·x - 24 + 9
t(x) = 12·x - 15

Answer 3

Weg ohne die Ableitung:

Geradenschar durch \(\blue{B(2|9)}\)

\( \frac{y-9}{x-2}=m \)   geschnitten mit \(\green{y=4x^2-4x+1}\)

\( \frac{4x^2-4x-8}{x-2}=m \)

\(4x^2-4x-m*x=8-2m \)

\(4x^2-x*(4+m)=8-2m \)

\(x^2-x*(\frac{4+m}{4})=2-\frac{1}{2}m \)

\((x-(\frac{4+m}{8}))^2=2-\frac{1}{2}m+(\frac{4+m}{8})^2 \)

\(x-(\frac{4+m}{8})=\sqrt{2-\frac{1}{2}m+(\frac{4+m}{8})^2} \)

\(\sqrt{2-\frac{1}{2}m+(\frac{4+m}{8})^2}=0 \)

\(2-\frac{1}{2}m+(\frac{4+m}{8})^2=0 \)

\(m=12 \)

Tangente :

\( \frac{y-9}{x-2}=12 \)

\( \blue{y=12x-15} \)