Zeigen Sie, dass die geometrische Folge (c · q^n) beliebiges c und 1 0

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die geometrische Folge (c · q^n) beliebiges c und 1< q < 0
gegen 0 konvergiert

Problem/Ansatz: Also mein Idee war das mit monotoniekriterium. Also beschränkt ist sie ja nach bedingung. ist sie monoton fallend? aber ja nur betrag aber wie beweist man das

Answer 1

Du meinst sicher \(0<|q|<1\).

Damit kannst du \(|q|\) auch so schreiben:

\(|q|= \frac 1{1+p}\) mit \(p = \frac 1{|q|} - 1 > 0\).

Nun wissen wir \((1+p)^n \geq 1+np > np\).

Das nutzen wir jetzt aus:

\(|cq^n| =|c| \frac 1{(1+p)^n} <\frac {|c|}{p}\frac 1n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0\)

Comments

Oh Gott, sorry meine -1 < q < 0

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Na das lässt sich schnell anpassen.

Hab die Lösung entsprechend angepasst. Betrachten wir einfach \(|q|\).

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okay, kann man das auch mit monotoniekriterium zeigen?

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Ich benutze hier kein Monotoniekrieterium sondern eine Abschätzung des Betrages \(|cq^n|\) durch eine bekannte Nullfolge.

Wenn du per Monotoniekriterium argumentieren willst, musst du trotzdem zeigen, dass die Folgenglieder beliebig klein werden.

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ja, es war nur eine hypothetische Frage weil ich es so probiert habe, da es ja beschränkt ist und monoton fallend ist, aber finde es schwierig die monoton fallend zu zeigen mit a(n+1) <= a(n)

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Wenn \(q<0\) gilt, dann ist \(cq^n\) alternierend. Also bekommst du Monotonie nur hin, wenn du die Beträge betrachtest.

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geht das so:

Sei \( \varepsilon>0 \). Es ex.ein nor sodass f.a. \( n \geqslant n_{0} \) gilt: \( \left|c \cdot q^{n}- \cdot 0\right|=\left|c \cdot q^{n}\right|<\varepsilon \). Somit ist \( |q|<1 \) und monoton fallend, da \( \forall n \in I N \) gilt \( a_{n+1} \leq a_{n} \) Außerdem gult: \( 0<|q|<1 \) nach Voraussetzung, also auch beschrärkt. Nack Monotonie kriterium gilt inf \( \left\{c \cdot q^{n} l_{n} \in \mathbb{IN}\right\}=0 \).

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Was in deinem 1. Satz steht ist genau die Behauptung, die zu zeigen ist.
Weiterhin arbeitest du mit dem Symbol \(a_n\). Du musst hinschreiben, was dein \(a_n\) ist.

Und wenn eine fallende Folge von unten durch Null beschränkt ist, weißt du zunächst nur, dass das Infimum größer oder gleich Null ist.

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okay, ja stimmt das muss man noch zeigen. muss man auch noch zeigen das sie fallend ist oder reicht es mit der begründung des betrages

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Eine alternierende Folge - also eine Folge, deren Glieder die Vorzeichen wechseln - kann nicht monoton sein.

Wenn du den Betrag der Folgenglieder wie in meiner obigen Antwort abgeschätzt hast, brauchst du sowieso keine Monotonie.

Answer 2

vgl:

https://www.google.de/search?q=beweis+geometrische+folge+monoton+fallend&ei=I99gZJDgM6GM9u8Pn7W1cA&ved=0ahUKEwjQ_eKm8vT-AhUhhv0HHZ9aDQ4Q4dUDCBA&uact=5&oq=beweis+geometrische+folge+monoton+fallend&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQAzIFCCEQoAEyBQghEKABOgoIABBHENYEELADOgYIABAWEB46CAghEBYQHhAdOgcIIRCgARAKOgQIIRAVOgUIABCiBEoECEEYAFCXCFjBamCRbmgHcAF4AIAB1AKIAdoVkgEINi4xNC4xLjGYAQCgAQHIAQjAAQE&sclient=gws-wiz-serp#fpstate=ive&vld=cid:1925bd02,vid:nEyl0VobgWA