Durch die Punkte A, B und C ist eine Ebene E bestimmt. Geben sie die Gleichung der Ebene E...

Question

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \( \mathrm{A}(0|-2| 1), \mathrm{B}(3|4| 3), \mathrm{C}(5|2| 6) \) und der von \( k \) abhängige Punkt \( P_{k}(1+k|1-5 k| 1+3 k) \) gegeben \( (k \in \mathbf{R}) \).

Durch die Punkte \( A, B \) und \( C \) ist eine Ebene \( E \) bestimmt. Geben Sie die Gleichung der Ebene \( \mathrm{E} \) in Normalenform an. Berechnen Sie die Zahl \( \mathrm{k} \), für die der Punkt \( \mathrm{P}_{\mathbf{k}} \) in der Ebene \( E \) liegt. Begründen Sie, dass für den in der Ebene \( E \) liegenden Punkt \( P_{\mathbf{k}} \) auch das Dreieck \( \mathrm{ABP}_{\mathrm{k}} \) rechtwinklig ist.

Answer 1

N = AB ⨯ AC = [3, 6, 2] ⨯ [5, 4, 5] = [22, -5, -18]

E: (X - OA)·N = (X - [0, -2, 1])·[22, -5, -18] = 0
E: 22·x - 5·y - 18·z = -8

Hier Pk einsetzen

22·(1 + k) - 5·(1 - 5·k) - 18·(1 + 3·k) = -8
k = 1

Pk = [1 + k, 1 - 5·k, 1 + 3·k] = [1 + 1, 1 - 5·1, 1 + 3·1] = [2, -4, 4]

Das ist je jetzt auch der Punkt D. Und ABD hat einen rechten Winkel bei A.