Nun, es gilt:
$${ T }_{ 2014 }f\left( x,0 \right) =\sum _{ k=0 }^{ 2014 }{ \frac { f^{ (k) }\left( 0 \right) }{ k! } x^{ k } }$$
Bildet man die ersten Ableitungen von f ( x ) = 1 / ( x + 1 ) , so erhält man:
$$f^{ (1) }\left( x \right) =\frac { -1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } }$$$$f^{ (2) }\left( x \right) =\frac { 2 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 3 } }$$$$f^{ (3) }\left( x \right) =\frac { -6 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 4 } }$$$$f^{ (4) }\left( x \right) =\frac { 24 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 5 } }$$$$f^{ (5) }\left( x \right) =\frac { -120 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 6 } }$$
und kann vermuten (erforderlichenfalls Beweis durch vollständige Induktion):
$$f^{ (k) }\left( x \right) =\frac { { (-1) }^{ k }k! }{ { \left( x+1 \right) }^{ k+1 } }$$
und somit:
$$f^{ (k) }\left( 0 \right) ={ (-1) }^{ k }k!$$
Setzt man dies in die allgemeine Taylorformel (siehe oben) ein, so erhält man:
$${ T }_{ 2014 }f\left( x,0 \right) =\sum _{ k=0 }^{ 2014 }{ \frac { { (-1) }^{ k }k! }{ k! } x^{ k } }$$$$=\sum _{ k=0 }^{ 2014 }{ { (-1) }^{ k }x^{ k } }$$$$=1-x+{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 4 }-...+{ x }^{ 2014 }$$
und somit an der Stelle x0= 0
$${ T }_{ 2014 }f\left( 0,0 \right) =1$$
