Stetigkeit von Funktionen nach Definition beweisen

Question

Aufgabe: Stetigkeit von Funktionen. Es gelte die Funktion (siehe Foto). Zu zeigen ist, dass die Funktion in jedem
x ∈ [0, 1] \ {0} unstetig ist mit der Definition von Stetigkeit

Problem/Ansatz: Ich komme da irgendwie mit den Bedingungen nicht klar, ob x aus IR ist bzw. IR \ Q. Kann mir da jemand helfen?

Text erkannt:

Betrachten Sie die Fuktion
\( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 2 x, & x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{array}\right. \)

Answer 1

Hallo

in jeder  ε Umgebung von x aus Q gibt es reelle Werte, umgekehrt in jeder  ε Umgebung von x aus R ohne Q gibt es x aus Q

was ist dann  die Differenz zwischen den Werten? wie ist es bei x=0?

Gruß lul

Comments

ich würde sagen, die Differenz zwischen den Werten in den ε-Umgebungen von x ∈ Q und x ∈ R \ Q auf die Anwesenheit bzw. das Fehlen irrationaler Zahlen in diesen Umgebungen zurückzuführen ist. aber x kann ja nicht 0 null wegen [0,1] \ {0} 

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Verstehe ich nicht. nimm mal a) x=1/3 als Beispiel und dann x=√(1/3) jeweils eine ε Umgebung,  dann hast du in derselben Umgebung Werte x/2 und 2(x+ε/2)   oder 2x und (x+ε)/2 was folgt für die Stetigkeit? oder nimm eine Folge von rationalen xn die gegen √(1/3) konvergiert, bzw eine reelle folge die gegen 1/3 konvergiert, wenn ihr auch Folgenstetigkeit habt.

dann x=0

Gruß lul

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sorry, ich verstehe es immer noch nicht, weil wir sollen zeigen, dass es für alle x gilt, aber wie?

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Du sollst die UNSTETIGKEIT für alle x ausser 0 zeigen.

Statt dem 1/3 und √(1/3) nimmst du eine beliebige reelle nicht rationale Zahl x oder  ein rationale

das Beispiel war nur um dich zu überzeugen was für 1/3 und √(1/3) gilt, gilt allgemein, ausser für x=0

lul