Dgl mit quadrat in der Lösung

Question

Aufgabe:

Hallo,
Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Berechnung. Es geht um DGL´s

Und zwar:

v´(t)= -\( \frac{k}{m} \)* v²

Unser Tutor hat uns gesagt, dass man im Integral substituieren soll um eine Lösung zu erhalten. Bin aber auf keinen wirklich logischen Weg bisher gekommen ...

LG

Answer 1

Aloha :)

$$v'(t)=-\frac km\,v^2(t)\implies \frac{v'}{v^2}=-\frac km\implies\frac{\frac{dv}{dt}}{v^2}=-\frac km\stackrel{\cdot dt}{\implies}\frac{dv}{v^2}=-\frac km\,dt$$Jetzt kannst du beide Seiten unabhängig voneinander integrieren:$$-\frac1v=-\frac km\,t+C\implies\frac1v=\frac km\,t-C\implies v(t)=\frac{1}{\frac km\,t-C}$$

Comments

Habe mal ne Frage. Wenn man mit den Integrationsgrenzen (v,v0,t,t0) rechnet, dann habe ich für (-C) = 1/v0.

Woher weiss man ob es richtig ist? Nur durchs Ableiten? Das zeigt ja nicht ob die Anfangsbedingung richtig ausgeführt wurden oder?

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Durch Einsetzen und Ableiten kannst du prüfen, ob die Differentialgleichung erfüllt ist. Ob die Lösung aber das beschriebene Problem beschreibt, hängt davon ab, dass die Integrationskonstante aus einer Nebenbedingung entsprechend bestimmt wurde.

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Die Integrationsgrenzen sind aber allgemein immer zb : t0 und t bzw v0 und v und man kann diese auch ohne genaue Angaben verwenden?

Das mit dem C ist etwas verwirrend manchmal...