Funktion Lösung einer gewöhnlichen DGL?

Question

Hallo, in der Übung sollten wir überprüfen ob $$y(x)=\frac{C}{\sqrt{|1-x^2|}}$$ eine Lösung der gewöhnlichen DGL $$y(x)^{\prime}(1-x^2)=xy(x)$$ ist.

Nun haben wir dazu, um den Betrag aufzulösen, eine Fallunterscheidung gemacht. Den letzten Schritt der Lösung verstehe ich allerdings nicht ganz. In welcher Reihenfolge wurde hier das Minus aus der Wurzel ausgeklammert? Ehrlich gesagt, wusste ich auch gar nicht, das man das überhaupt darf. Da ich sie um sie wieder in die Klammer hineinzubekommen doch wieder quadrieren müsste und sie dann auch positiv wäre oder nicht? Oder liegt das daran, dass der Bruch „ungerade“ ist? Dann komme ich bei den Vorzeichen in der Lösung trotzdem nicht mit. Dann wäre die Gleichung doch schon im vorletzten Schritt positiv. Sorry ich bin etwas ratlos. Mit imaginären Zahlen haben wir noch nicht gerechnet. Falls das eine Rolle spielt.

Answer 1

Es wäre besser Du rechnest einfach selbst statt Dich über eine fehlerhafte Lösung zu wundern. Die Zeit kannst Du Dir sparen.

Ich nehme an, Du meinst den Fall \(x^2-1>0\).

Korrekt ist: Dann ist \(y(x)=C(x^2-1)^{-\frac12}\) und damit

\(y'(x)=-\frac{C}2 (x^2-1)^{-\frac32}2x = -Cx(x^2-1)^{-\frac32}=\frac{-Cx(x^2-1)^{-\frac12}}{x^2-1} = \frac{x}{1-x^2}y(x)\), fertig.

Comments

Habe ich, das Endergebnis stimmte zwar allerdings möchte ich auch nicht die Chance verpassen, einen anderen Lösungsweg nachvollziehen zu können. Nur dass die Lösung für mich nicht nachvollziehbar war. So passt es jetzt, vielen Dank!!

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Dann bist Du schon vernünftig vorgegangen. Alternative Lösungswege zu kennen ist manchmal hilfreich, aber dann sollten sie richtig sein. Bei diesem hier tauchen ja unter der Wurzel negative Zahlen auf (hast Du ja gemerkt), das kann ja nicht stimmen. Und das \((...)^{\frac32}\) im ersten Schritt ist ja auch ein Tippfehler.

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Ja den habe ich einfach mal so hingenommen, das passiert denen des Öfteren bei uns :D