Zeigen Sie dass es keine lineare Abbildung F: ℝ2 → ℝ2 mit

Question

Aufgabe $2(9=4+5$ Punkte):
(a) Zeigen Sie dass es keine lineare Abbildung $F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ mit
$F\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad F\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right), \quad F\left(\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right)$
gibt.
(b) Wie muss mann
$F\left(\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} ? \\ ? \end{array}\right)$
abändern, damit eine Abbildung wie oben doch existiert
Bestimmen Sie $F$ als Matrix-Multiplikation mit $F(x)=A x$ für eine geeignete Matrix $A$.

Answer 1

Aloha :)

Wir nehmen an, $F$ sei linear, dann gilt:$$\binom{0}{0}=\binom{3}{1}-2\binom{1}{1}-\binom{1}{-1}\implies$$$$F\binom{0}{0}=F\binom{3}{1}-2F\binom{1}{1}-F\binom{1}{-1}=\binom{5}{3}-2\binom{1}{0}-\binom{3}{2}=\binom{0}{1}$$

Jede lineare Abbildung bildet die Null auf die Null ab. Hier wird $\binom{0}{0}$ auf $\binom{0}{1}$ abgebildet.

Daher ist die Abbildung nicht linear.

Comments

Vielen Dank !

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Die 2 ist das Skalar von F(a*v1+v2)=a*F(v1)+F(v2) oder ?

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Ja genau, da habe ich die Linearität so genutzt.

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Kann mir einer vlt sagen woher die 2 kommt ich weiß das wurde oben schon gesagt aber leider kann ich das nicht nachvollziehen.

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für die B müsste es doch dann (5,2) heißen oder soll als vektorschreibweise sein also untereinander

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Die $2$ folgt aus der Linearität:$$F(a+2\cdot b+c)=F(a)+2\cdot F(b)+F(c)$$$$F\left(\binom{3}{1}-\pink2\binom{1}{1}-\binom{1}{-1}\right)=F\binom{3}{1}-\pink2F\binom{1}{1}-F\binom{1}{-1}$$

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Dankeschön dass habe ich verstanden. Ist denn meine Lösung für die b richtig?

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Ja, deine Lösung für die (b) ist richtig. Die Forderung für Linearität lautet ja:$$F\binom{3}{1}-2F\binom{1}{1}-F\binom{1}{-1}\stackrel!=\binom{0}{0}\implies$$$$F\binom{3}{1}=2F\binom{1}{1}+F\binom{1}{-1}=2\binom{1}{0}+\binom{3}{2}=\binom{5}{2}$$

Answer 2

Für ein lineares $F$ müsste gelten

$F({3 \choose 1})=F(2\cdot {1 \choose 1}+{1\choose -1})=2\cdot F({1 \choose 1})+F({1 \choose -1})=$

$=2{1 \choose 0}+{3 \choose 2}={5\choose 2}\neq {5\choose 3}$. Also gibt es keine lineare

Abbildung, die die Bedingungen erfüllt.

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort aber woher weißt ich welche F´s ich mit welchen addieren muss.

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Der Vektor $(3,1)^T$ lässt sich doch nur auf eine Weise

als Linearkombination von $(1,1)^T$ und $(1,-1)^T$ schreiben.

Nachdem man das gemacht hat, muss man nur der Linearität Folge leisten.