Aloha :)
zu 1) Nutze die Regel von L'Hospital
$$\small\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x\cos x}\stackrel{\text{(L'Hospital)}}{=}\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x}{1\cdot\cos x-x\sin x}=\frac{1}{1\cdot1-0\cdot0}=1$$
zu 2) Nutze den trigonometrischen Pythagoras
$$\tan(\arcsin x)=\frac{\sin(\arcsin x)}{\cos(\arcsin x)}\stackrel{(\sin^2x+\cos^2x=1)}{=}\frac{\sin(\arcsin x)}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
zu 3) Wir formen die Gleichung zunächst um:$$\sin(2x)=\tan x\implies 2\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}$$und erkennen, dass alle Nullstellen \(x=\mathbb Z\cdot \pi\) der Sinus-Funktion die Gleichung efüllen.
Für \(x\ne\mathbb Z\cdot\pi\) ist \(\sin x\ne0\) und wir können die Gleichung durch \(\sin x\) dividieren:$$2\cos x=\frac{1}{\cos x}\implies 2\cos^2x=1=\sin^2x+\cos^2x\implies\cos^2=\sin^2x\implies$$$$\cos^2x-\sin^2x=0\implies\cos(2x)=0\implies 2x=\mathbb Z\pi-\frac\pi2\implies x=\frac{\mathbb Z\pi}{2}-\frac\pi4$$
Damit können wir die Lösungsmenge vollständig angeben:$$\mathbb L=\left\{x\in\mathbb R\bigg|x=(2\mathbb Z-1)\,\frac\pi4\;\lor\;x=\mathbb Z\pi\right\}$$
