Richtungsableitung von x*sin(y)

Question

\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=x \cdot \sin (y) \)

Berechnen Sie die Richtungsableitung \( \partial_{v} f(x, y) \) für die Richtung \( v=\left(v_{1}, v_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) nur mittels der Definition:

Problem:

Der Anfang ist mir noch klar:

\( \begin{aligned} \partial v f(x, y) & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} f\left((x, y)+t\left(v_{1}, v_{2}\right)\right) \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} f\left(x+t_{v_{1}}, y+t v_{2}\right) \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(x+t v_{1}\right)-\sin \left(y+t v_{2}\right)\end{aligned} \)

Jetzt verstehe ich aber noch nicht ganz wie weiter vorzugehen ist!

Comments

Du musst die Funktion, wie Du sie angeschrieben hast nach t differenzieren...

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Also (x+tv₁) - sin(y+tv₂) nach t differenzieren - das wäre dann v₁-v₂ cos(tv₂+y) (und t=0)

Danke

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Entschuldige, ich hatte Deinen Schreibfehler - Minus statt Mal - übersehen..

Answer 1

Aloha :)

Du hast doch bisher alles richtig gemacht:$$\partial_vf(x;y)=\left[\frac{d}{dt}f(x+tv_1;x+tv_2)\right]_{t=0}=\left[\frac{d}{dt}\left(\underbrace{(x+tv_1)}_{=u}\cdot\underbrace{\sin(y+tv_2)}_{=w}\right)\right]_{t=0}$$

Jetzt kannst du die Ableitung mit der Produktregel bilden:$$\partial_vf(x;y)=\left[\underbrace{v_1}_{=u'}\cdot\underbrace{\sin(y+tv_2)}_{=w}+\underbrace{(x+tv_1)}_{=u}\cdot\underbrace{\cos(y+tv_2)\cdot v_2}_{=w'}\right]_{t=0}$$$$\phantom{\partial_vf(x;y)}=v_1\sin(y)+xv_2\cos(y)$$

Comments

Mit der Produktregel kann ich in der Tat etwas anfangen - danke vielmals!