Durchschnittsalter der Bevölkerung

Question

Aufgabe:

Ausgehend von den Daten aus einer Statistik der Vereinten Nationen kann das Durchschnittsalter der Bevölkerung in einem Land A mit Hilfe der Funktion a mit der Gleichung

a(t) = -0,00011 t³ + 0,0186 t² - 0,538 t + 24,   t ∈ ℝ,

modelliert werden. Dabei ist t die Zeit in Jahren seit 1950 und a(t) das zugehörige Durchschnittsalter in Jahren. Mit der Funktion \( a \) können Prognosen bis zum Jahr 2030 erstellt werden. Der Graph von \( a \) ist in Abbildung 1 dargestellt.

a) Bestimmen Sie das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr \( 1950(t=0) \) und den Prognosewert für das Jahr \( 2030(t=80) \).

b) Ermitteln Sie rechnerisch das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030

Problem/Ansatz:

Ich verstehe überhaupt nicht wie hier gerechnet werden muss. Also ich habe die Ableitung bereits gemacht. Weiter weiß ich aber nicht

Answer 1

b) Ermitteln Sie rechnerisch das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030

Du ermittelst einen Extrempunkt, indem du die Ableitung gleich Null setzt.

a(t) = - 0.00011·t^3 + 0.0186·t^2 - 0.538·t + 24

a'(t) = - 0.00033·t^2 + 0.0372·t - 0.538 = 0 --> t = 17.03735413 (∨ t = 95.68991859)

a(17.04) = - 0.00011·17.04^3 + 0.0186·17.04^2 - 0.538·17.04 + 24 = 19.69 Jahre

Comments

Danke, ich verstehe es besser. Jedoch frage ich mich woher die 17.04 und dann anschließend die 95.7 als Ergebniss kommen

---

17,04 ist der y-Wert des Minimums.

---

Woher kommt denn die 95 und was ist dieses V Symbol und wie kommt man auf 17?

---

Löse die Quadratische Gleichung

- 0.00033·t^2 + 0.0372·t - 0.538 = 0

Du erhältst die Ergebnisse

t = 17.03735413 oder t = 95.68991859

Bei ca. 17 ist rein optisch schon das Minimum zu erkennen, also langt uns der Wert.

Das ∨ steht in der Mathematik für oder und wird von Mathematikern wegen der kürzeren schreibweise bevorzugt.

---

Die pq-Formel liefert 2 Lösungen.

Es ist das Maximum.

---

Aber wie soll ich denn die pq-Formel anwenden. Das geht doch nur wenn x² keine Vorstellen hat. Oder nicht ?

---

Aber wie soll ich denn die pq-Formel anwenden. Das geht doch nur wenn x² keine Vorstellen hat. Oder nicht ?

Genau. Du könntest daher die abc-Formel anwenden oder durch den Faktor a vor dem x² teilen. Das habt ihr bestimmt auch bereits gelernt.

---

abc- Formel ??? Noch nie gehört

---

abc- Formel ??? Noch nie gehört

Das macht nichts teile durch den Faktor vor dem x². Schaffst du das?

- 0.00033·t^2 + 0.0372·t - 0.538 = 0

t^2 - 1240/11·t + 53800/33 = 0

ca. t^2 - 112.7·t + 1630 = 0

---

Jetzt verstehe ich es überhaupt nicht mehr. Wieso denn durch 11 und durch 33 ?

---

Du musst nur durch den Faktor vor x^2 dividieren und schon landest du

bei der pq-Formel, die einfacher zu handhaben ist als die abc-Formel.

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/abc-formel.html

Die abc-Formel heißt auch Mitternachtsformel, die früher stupide eingepaukt wurde,

dass man sie um Mitternacht im Schlaf aufsagen konnte,

ein unsinniges "Einprügeln" von früheren Mathelehrern,

als ob davon das Überleben der Menschheit abhinge.

Sie stammt aus der Zeit der Angst-Pädagogik, die auch in anderen Fächern

berüchtigt war.

---

Weil man Brüche lieber genau als Brüche stehen lässt als auf Dezimalzahlen zu runden. Aber weil ich mir das schon gedacht habe, habe ich extra für dich auch die Dezimalzahlen aufgeschrieben.

---

Dankeschön. Habe am Anfang der Aufgabe so große Zahlen rausgehabt. (317684,.... und jetzt 3175) Aber ich sehe gerade. wenn ich das Komma verschiebe kommt exakt die selbe Zahl raus. Bei dieser Variante ist es grober aber genau richtig. Vielen Dank !!!!

---

abc- Formel ??? Noch nie gehört

Auch bekannt als "Mitternachts-Formel". Da wo ich herkomme, lernt man die in der 10. Klasse auswendig. Das ist bei weitem nicht so dramatisch wie weiter oben umschreiben. Für die Auswendiglernunwilligen steht sie bis und mit Maturitätsprüfung in der Formelsammlung.

Answer 2

a)  a(0) =  ...

a(80) = ...

b) Berechne a'(t) =0

Comments

Hi,

Was meinst du genau?

Also a) habe ich bereits. Meinst du bei b) verstehe ich nicht ganz was du meinst. Kannst du mir das genauer erläutern ?

---

Du hast geschrieben, die Ableitung schon gemacht zu haben. Setze sie gleich null und löse die Gleichung nach t auf. Denn bei einem Minimum der Funktion ist die Ableitung (Tangentensteigung) gleich null.

Dabei wirst Du eine quadratische Gleichung lösen müssen. Dazu gibt es eine Lösungsformel.

Das Minimum ist irgendwo in der Nähe von t = 15, wie man auf der Abbildung sieht. Ein etwas genauerer Wert wäre 17,037. Den exakten Wert wirst Du mit der erwähnten Lösungsformel sicher selber herausfinden.

---

Kannst du mir da helfen. Ich verstehe es immer noch nicht.

Also wie nach t auflösen ?

---

Setze a'(t) =0

pq-Formel benutzen

---

Ich verstehe es immer noch nicht.

Kannst du mir mal genauer zeigen wie ich die hier anwende