Aufgabe:
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Aufgabe 2 (6 Punkte)
Sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) . \end{array}\right. \)
(a) (2 Punkte) Untersuchen Sie \( f \) auf Stetigkeit und auf partielle Differenzierbarkeit. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung in allen Punkten, in denen sie existieren.
(b) (2 Punkte) Untersuchen Sie \( f \) auf totale Differenzierbarkeit und berechnen Sie die Jacobi-Matrix von \( f \) in allen Punkten, in denen \( f \) differenzierbar ist.
(c) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass für jede differenzierbare Kurve \( \gamma:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( \gamma(0)=(0,0) \) die Funktion \( f \circ \gamma \) im Punkt 0 differenzierbar ist. Berechnen Sie \( (f \circ \gamma)^{\prime}(0) \). (Hinweis: Beachten Sie, dass \( f(\alpha(x, y))=\alpha f(x, y) \) für alle \( \alpha \in \mathbb{R},(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) gilt.)
