Potenzregeln der Division

Question

Problem/Ansatz:

Hallo, ich möchte einen formal korrekten Beweis der Potenzregel für die Division durchführen.

$$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$

Hierbei komme ich allerdings dazu, dass ich die Definition von $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ benutzen muss, was ich ja aber eigentlich DURCH die Divisionsregel festlege. Ich bin hier gedanklich also im Kreis gefangen. Kann mir jemand weiterhelfen ?
Ich habe den Beweis angefangen und einfach eine Fallunterscheidung gemacht, je nachdem ob n <m oder m >n. Der Fall m = n liefert mir dann ja, dass $$ a ^ 0 = 1$$ ergibt.

MUSS Ich vorher also bereits festlegen, wie negative Exponenten definiert sind ?

Comments

Verallgemeinere das was hier beschrieben ist: https://www.matheretter.de/wiki/potenzen-division

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MUSS Ich vorher also bereits festlegen, wie negative Exponenten definiert sind ?

Eindeutige Antwort : ja
Und auch die Definition a^0 = 1 muss vorher erfolgen.

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Worauf stütze ich diese Definitionen dann ? Lediglich konvention ?

@Werner: Das hilft überhaupt nicht, es behandelt ja eben nicht die Fälle um die es hier geht. Meine Frage war, ob es NÖTIG ist, die Sonderfälle vorher zu definieren.

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Worauf stütze ich diese Definitionen dann ?

Was meinst du mit "stützen" ?
Definieren kann man ja zunächst was man will. Solange niemand weiß, was mit dem Symbol 0^0 gemeint ist, kann man 0^0=0 oder 0^0=1 oder 0^0=7 definieren. Eine gute Definition sollte aber so sein, dass bisherige Regeln und Gesetze möglichst weitgehend erhalten bleiben. Die bisherigen (d.h. für natürliche Exponenten) gültigen Potenzgesetze bleiben nun genau dann erhalten, wenn man eben für a≠0 definiert, dass a^-n = 1/a^n sein soll, weshalb diese Definition sinnvoll ist und deshalb allgemein akzeptiert wird.

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Gast hj2166 hat es klar und deutlich erläutert.

Answer 1

a^n/a^m = a^n* a^-m = a^(n+(-m)) = a^(n-m)

Ich setze voraus: a^n*a^m= a^(n+m)

Was meinst du mit "beweisen"?

Wovon darfst du ausgehen?

https://unterrichten.zum.de/wiki/Beweis_Potenzgesetze

Comments

Das ist ja genau das, was ich NICHT wollte. Du nimmst ja bereits an, dass $$ \frac{1}{a^m} = a^{-m}$$ ist

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Hallo akition: Wer etwas beweisen soll muss eine klare Vorgabe dazu haben, was alles als wahr gelten darf und daher vorausgesetzt werden darf. Ohne derartige Vorgaben muss man lange weitermachen (und gelangt so zu Axiomen) oder man ist ratlos, wie du.

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Wie kommt man schnell und systematisch zu Axiomen?

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Im Zuge eines Beweises kommt man irgendwann in Not. Da helfen dann Evidenzen (in der Schule) oder Axiome (im Studium). Ein System ist damit aber nicht beschrieben - schon gar nicht, wenn ein widerspruchsfreies, vollständiges System vom Axiomen geschaffen werden soll. Für solche Schöpfungen bedarf es ganz großer Mathematiker.

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Ich brauche es für eine Examensarbeit. Ich hatte halt gedacht, dass ich DARAUS folgere, was negative Exponenten und x ^0 zu sein haben, aber offenbar muss ich das bereits vorher definieren ? Wie beweise ich denn dann aber, dass $$ a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$ ist, wenn ich die Division hier noch nicht kenne ? Oder kann ich das einfach unbewiesen hinnehmen ?

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Es handelt sich um eine Definition! Die kannst du
nicht beweisen, wohl aber als praktisch rechtfertigen.

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In einer Examensarbeit müssen alle Aussagen, die mit dem Anspruch auf Wahrheit gemacht werden, durch eine Quelle belegt werden. Wenn du eine Quelle nennen kannst, aus der du \( a^{-m} = \frac{1}{a^m}\) übernommen hast, musst du den Beweis nicht mehr führen.

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Das meinte ich. Ob es noch eine Definition, oder nicht eventuell sogar schon ein Satz sei (und damit einen Beweis braucht). Denn x^0 = 1 kann ich ja ohne weiteres BEWEISEN mit der Division.

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@akition: Die folgenden beiden Aussagen verbinde ich mit den Fragen: Was ist der Satz, was ist die Definition? Und wenn beides Sätze sind: Was ist dann die Definition?

Aussage A: Ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten und vier gleichgroßen Winkeln ist ein Quadrat.

Aussage B: In einem Quadrat sind gegenüberliegende Seiten gleichlang und parallel.

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Es kommt darauf an, in welcher Reihenfolge die Begriffe
eingeführt wurden.

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ermanus: Das ist natürlich zutreffend. Die Frage war allerdings rhetorisch gemeint und eher an 'akition' gerichtet.

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Eine mehr oder weniger detaillierte Herleitung der
Potenzregeln findet man in Algebra-Büchern unter dem
Thema "abelsche (multiplikativ geschriebene) Gruppe".
Dort wird \(a^{-1}\) als (multiplikatives) Inverses zu \(a\)
eingeführt. Die "Division" \(a:b\) ist dann eine andere
Schreibweise für \(a\cdot b^{-1}\) ...

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Ich denke: Auch dieser Kommentar richtet sich eher an 'akition'.

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@Roland: Da hast du Recht ;-)

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akition: Lies auch dies:

https://www.mathelounge.de/1019061/formal-korrekte-schreibweise-oder-definition