Beweise: Wenn lambda in C Eigenwert von F ist, so ist auch p(lambda) Eigenwert von p(F)

Question

Sei \( F \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix und sei \( p \in \Pi_{m}(\mathbb{R}) \). Beweisen Sie: Ist \( \lambda \in \mathbb{C} \) Eigenwert von \( F \), so ist auch \( p(\lambda) \) Eigenwert von \( p(F) \).

Welchen Ansatz kann ich da verfolgen?

Comments

Was ist \(\Pi_{m}(\mathbb{R}) \)?

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Ein polynom mit höchstgrad m oder?

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Nein. Sondern die Menge aller Polynome
vom Höchstgrad \(m\).

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Wenn du nicht weißt, was \(\Pi_{m}(\mathbb{R}) \) ist, dann sollte deine Frage

        "Was ist \(\Pi_{m}(\mathbb{R}) \)?"

lauten, und nicht

        "Welchen Ansatz kann ich da verfolgen?"

Der erste Schritt zur Beantwortung einer Frage ist, sie zu verstehen. Dazu gehört insbesondere, dass du alle in der Frage vorkommenden Fachbegriffe kennst. Erste Anlaufstelle dafür sind die Unterlagen, die dir der Autor der Aufgabe zur Verfügung gestellt hat.

Answer 1

Sei \(p=\sum_{k=0}^m a_kX^k\) und \(\lambda\) ein Eigenwert von

\(F\) mit Eigenvektor \(v\). Das Hauptproblem bei dem Beweis

dürften die Monome \(a_kX^k\) für \(k>1\) darstellen.

Hier benutze man vollst. Induktion, deren Ind.schluss so aussieht:

 \((a_kF^k)v=a_kF(F^{k-1}v)\stackrel{IV}{=}a_kF(\lambda^{k-1}v)=a_k\lambda^{k-1}Fv=a_k\lambda^kv\).