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Aufgabe:Ich versuche die Ebenengleichung aufzustellen.

Für A = (1 2 -1), die Ebene ergibt sich aus E = {v∈ℝ3 : A*v = 0}


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre den Kern der Matrix A nehmen und die beiden Vektoren verwenden, geht das so?

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Kern der Matrix A nehmen und zwei Basisvektoren verwenden,

Das sind jedenfalls Spannvektoren der Ebene.

Außerdem geht sie durch den Ursprung.

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Das würde ja bedeuten, wenn sie durch den Ursprung geht, dass ich nur die Spanvektoren benötige, oder?

Am einfachsten ist wohl Einsetzen von A:

(1 2 -1) * (x,y,z)T = 0

x + 2y - z = 0

Dann habe ich ja bereits 2 Vektoren, unzwar (-2,1,0) und (1,0,1)


Wenn ich nun die Parameterform aufstellen möchte, kann ich als Stützvektor den Nullvektor verwenden? also die Ebene folgendermaßen aussehen lassen:


E1= (000) \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r* (210) \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} + t* (101) \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} r,t ∈ ℝ

Ja, so geht es.

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Aloha :)

Av=0    (121)(xyz)=0    x+2yz=0\underline{\underline{A}}\cdot\vec v=0\implies\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\implies \pink{x+2y-z=0}Die pinke Gleichung ist bereits die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Wenn du einen Ebenengleichung in Parameterform wünschst, stelle die pinke Gleichung nach einer Variablen um, zum Beispiel nach zzz=x+2y\pink{z=x+2y}und gib dann einfach alle Vektoren explizit an:v=(xyz)=(xyx+2y)=x(101)+y(012)\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\\pink z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\pink{x+2y}\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}

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