Ebene bestimmen Av = 0

Question

Aufgabe:Ich versuche die Ebenengleichung aufzustellen.

Für A = (1 2 -1), die Ebene ergibt sich aus E = {v∈ℝ³ : A*v = 0}

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre den Kern der Matrix A nehmen und die beiden Vektoren verwenden, geht das so?

Answer 1

Kern der Matrix A nehmen und zwei Basisvektoren verwenden,

Das sind jedenfalls Spannvektoren der Ebene.

Außerdem geht sie durch den Ursprung.

Comments

Das würde ja bedeuten, wenn sie durch den Ursprung geht, dass ich nur die Spanvektoren benötige, oder?

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Am einfachsten ist wohl Einsetzen von A:

(1 2 -1) * (x,y,z)^T = 0

x + 2y - z = 0

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Dann habe ich ja bereits 2 Vektoren, unzwar (-2,1,0) und (1,0,1)

Wenn ich nun die Parameterform aufstellen möchte, kann ich als Stützvektor den Nullvektor verwenden? also die Ebene folgendermaßen aussehen lassen:

E1= \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) + r* \( \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} \) + t* \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \) r,t ∈ ℝ

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Ja, so geht es.

Answer 2

Aloha :)

$$\underline{\underline{A}}\cdot\vec v=0\implies\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\implies \pink{x+2y-z=0}$$Die pinke Gleichung ist bereits die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Wenn du einen Ebenengleichung in Parameterform wünschst, stelle die pinke Gleichung nach einer Variablen um, zum Beispiel nach \(z\)$$\pink{z=x+2y}$$und gib dann einfach alle Vektoren explizit an:$$\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\\pink z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\pink{x+2y}\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$$