Zeigen Sie, dass die binäre Relation eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen ist

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{C} \)-Vektorraum. Wir nennen zwei Normen \( \|\cdot\| \) und \( \|\mid \cdot\| \) auf \( V \) äquivalent, falls \( c, C>0 \) so existieren, dass

\( c\|x\| \leq\|x\|\|\leq\| x \| \quad \text { für alle } x \in V \text { gilt. } \)
Wir notieren dies mit \( \|\cdot\| \sim|\|\cdot \mid\| \).
(a) Zeigen Sie, dass die binäre Relation \( \sim \) eine Äquivalenzrelation (reflexiv, transitiv, symmetrisch) auf der Menge der Normen auf \( V \) ist.
(b) Seien \( \|\cdot\| \) und \( \|\cdot \mid\| \) äquivalente Normen auf \( V \) mit den induzierten Metriken \( d_{\|\cdot\|} \) und \( d_{\|\cdot\| \mid} \). Zeigen Sie, dass eine Menge genau dann offen bzgl. \( d_{\|\cdot\|} \) ist, wenn sie offen bzgl. \( d_{\|\cdot\|} \cdot \| \) ist.
(c) Zeigen Sie, dass der metrische Raum \( \left(V, d_{\|\cdot\|}\right) \) genau dann vollständig ist, wenn \( \left(V, d_{\|\cdot\|}\right) \) vollständig ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem bei dieser Aufagbe ist, dass ich nicht weiß wie ich die Sachen anwenden soll. Ich kenn die Definition zu den Äquivalenzrelationen, aber hab es nicht geschafft die hier anzuwenden.

Bei den anderen Teilaufgaben ist es ähnlich.

Answer 1

Reflexivität. Wähle

        \(c = C = 1\)

Symmtrie. Ist

        \(c\cdot ||x|| \leq |||x||| \leq C\cdot ||x||\),

dann ist

        \(||x|| \leq \frac{1}{c}|||x|||\)

und

        \(\frac{1}{C}|||x|||\leq ||x||\)

Transitivität. Sei

      \(c_1\cdot |x| \leq ||x|| \leq C_1\cdot |x|\)

und

      \(c_2\cdot ||x|| \leq |||x||| \leq C_2\cdot ||x||\).

Begründe dass es \(c,C>0\) gibt, so dass

      \(c\cdot |x| \leq |||x||| \leq C\cdot |x|\)

Comments

Wir begründe ich denn bei der transitivität, dass es c,C gibt?

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\(c_1\cdot |x| \leq ||x|| \leq \dots\)

Dann ist

        \(c_2\cdot c_1\cdot |x| \leq c_2\cdot ||x||\).