Unabhängigkeit 3-maligem Münzwurf

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Der Begriff der Unabhängigkeit hängt sehr stark von \( \mathbb{P} \) ab!
Man betrachtet einen 3-maligem Münzwurf: \( 0 \hat{=} \) "Zahl", \( 1 \hat{=} \) "Kopf". Sei \( \Omega=\{0,1\}^{3} \). Es wird das Wahrscheinlichkeitsmass \( \mathbb{P}_{p}(p \in[0,1]) \) durch
\( \mathbb{P}_{p}\left(\left\{\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)\right\}\right)=p^{\#\left\{i \in\{1,2,3\}: \omega_{i}=1\right\}}(1-p)^{\#\left\{i \in\{1,2,3\}: \omega_{i}=0\right\}} \)
definiert, wobei \( \left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right) \in \Omega \). Seien \( A \) : ,höchstens eine Zahl" und \( B \) : ,das gleiche Ergebnis tritt bei den drei Würfen ein".
1) Man berechne \( \mathbb{P}_{p}(A), \mathbb{P}_{p}(B), \mathbb{P}_{p}(A \cap B) \).
2) Für welche Werte von \( p \) sind \( A \) und \( B \mathbb{P}_{p} \)-unabhängig?

Answer 1

1. A: KKK, KZK, KKZ, ZKK

B: KKK, ZZZ

P(A) = P(X=0)+P(X=1) = p^3+ (3über1)*p*(1-p)^2

P(B) = p^3+ (1-p)^3

A∩B): KKK

P(A∩B): p^3

Comments

Nirgendwo steht, dass es eine faire Münze ist und nirgendwo steht, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Kopfwurf 1/2 ist.

Im Gegenteil. Im Text steht drin, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Kopfwurf p und für einen Zahlwurf 1-p ist.

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Im Text steht drin, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Kopfwurf p ..

Das steht dort nicht direkt, sondern nur sehr implizit.

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Dann möge der TS das anpassen.

So hat auch er etwas zu tun.

Es spricht auch nicht dagegen, es als klassisches Beispiel zu betrachten

und als Denkanstoß zu sehen.

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Warum sollte der TS irgendwas anpassen?

Nur weil du den Text nicht lesen und verstehen kannst?

Bitte berichtige also deine fehlerhafte Antwort oder lösche sie.

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Bitte berichtige also deine fehlerhafte Antwort oder lösche sie.

Besser : Deklariere sie als Denkanstoß, der nur für den Fall p=0,5 zutrifft.

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Du warst auch schon mal freundlicher, Mathecoach.

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Du warst auch schon mal freundlicher, Mathecoach.

Tut mir leid, wenn mein Kommentar nicht so freundlich rüberkam.

Bei Aufgabe 1 hätte einem auffallen können, dass unter dem großen P immer noch ein kleines p steht. Da hätte man sich evtl. fragen können, ob das irgendeine Bewandtnis hat oder ob der Dozent in seinem Wahn nur alles doppelt gesehen und geschrieben hat.

Spätestens bei Aufgabe 2 in der nach der Wahrscheinlichkeit p gefragt ist, hätte einem evtl. auffallen können, dass man bei Aufgabe 1 irgendeine Kleinigkeit vergessen hat.

Also markiere vielleicht deine Antwort als Denkanstoß für den Normalfall einer fairen Münze mit p = 1/2.

Answer 2

1)

Pp(A) = 3·p^2·(1 - p) + p^3 = 3·p^2 - 2·p^3

Pp(B) = p^3 + (1 - p)^3 = 3·p^2 - 3·p + 1

Pp(A ∩ B) = p^3

2)

Für Unabhängigkeit muss gelten

P(A) * P(B) = P(A ∩ B)

(3·p^2 - 2·p^3) * (3·p^2 - 3·p + 1) = p^3

- 6·p^5 + 15·p^4 - 11·p^3 + 3·p^2 = p^3

- 6·p^5 + 15·p^4 - 12·p^3 + 3·p^2 = 0

- 3·p^2·(2·p^3 - 5·p^2 + 4·p - 1) = 0

Trivialfall p = 0

2·p^3 - 5·p^2 + 4·p - 1 = 0

Trivialfall p = 1

(2·p^3 - 5·p^2 + 4·p - 1) / (p - 1) = 2·p^2 - 3·p + 1

2·p^2 - 3·p + 1 = 0 --> p = 1/2 ∨ p = 1

Für p = 0, 1/2 oder 1 sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Comments

Es wäre interessant, wie man eine Münze so manipuliert,

dass man alle möglichen Werte von p simulieren kann.

z.B. p = 0,783

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Da es in der Regel auch schwer nachzuweisen ist, dass eine Münze exakt die Wahrscheinlichkeit p = 0.783 für einen Kopfwurf hat, dürfte das zumindest sehr lange dauern so eine Münze herzustellen. Weiterhin ist die Wahrscheinlichkeit noch von anderen Dingen abhängig wie Windgeschwindigkeit, Luftdruck, Ortsfaktor (Fallbeschleunigung) g etc.

Daher definieren sich Mathematiker einfach eine solche Münze. Das geht deutlich schneller und da kann man auch tatsächlich exakt davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit p = 0.783 für einen Kopfwurf ist.

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Es wird viel definiert ohne jeden Realitätsbezug

Doch wer weiß, mit der heutigen Technologie halte ich das sogar nicht für unmöglich.

Nur der Wind könnte Probleme machen. Aber vlt. kann man auch den

noch mit allen Geschwindigkeiten mit einkalkulieren.

Irgendein Mathegott findet die Formel und erhält den Nobelpreis

und ein lukratives Angebot aus der kriminellen Wirtschaft, die immer

auf der Suche nach neuen Tricksereien ist um den Profit zu maximieren.

Es gab mal den Fall, wo ein Roulettetisch raffiniert manipuliert wurde.

Auch der Schwindel flog auf.

Es war in der Serie "Cobra, übernehmen Sie"  Thema, an die ich mich

noch gut erinnere (Peter Graves, Martin Landau, Barbara Bain und der

legendäre Technik-Freak Barney/Greg Morris)

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Erstmal machen Mathematiker nie Mathematik mit Realitätsbezug. Mathematik ist keine Naturwissenschafts wie Astonomie, Biologie, Chemie, Physik.

Mathematik ist eine Strukturwissenschaft. Sie dient den gängigen Natürwissenschaften als Hilfmittel. Und viele Rechenmodelle die in der Mathematik benutzt werden haben ihren Ursprung auch in real existierenden Problemen.

Ob etwas irgendwann mal einen Realiätsbezug haben kann oder wird, kann man ja oft noch nicht sagen. Daher wird in der Mathematik trotzdem erstmal geforscht auch ohne Realitätsbezug.

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Und auch die Kriminellen, Spekulanten & Co. freuen sich, wenn etwas dabei für sie abfällt. Der Abgasbetrug wäre ohne techn. Mathematik nicht möglich gewesen

u.v.a.m. Man kann alles gebrauchen oder missbrauchen (Ambivalenz).

Für mich ist und bleibt die schönste Mathematik die angewandte, die

die Realität im Sinne von Galilei beschreibt.

Jedem das Seine.

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Pp(A) = 3·p2·(1 - p) + p3 = 3·p2 - 2·p3

Pp(B) = p3 + (1 - p)3 = 3·p2 - 3·p + 1

Pp(A ∩ B) = p3 

woher kommt diese formular. ich verstehe nicht. konntest du mehr erklaren?

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Schaffst du es ein 3-stufigen Baumdiagramm für einen 3-fachen Münzwurf zu zeichnen.

Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist p und die Wahrscheinlichkeit für Zahl ist (1 - p)

Dann kannst du gemäß der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeiten leicht bestimmen.

Willst du das mal probieren?

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Irgendein Mathegott findet die Formel und erhält den Nobelpreis

Es gibt keinen Nobelpreis für Mathematik,

☺

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Dann kannst du gemäß der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeiten leicht bestimmen.

Pfadregeln sind hier völlig unangebracht (vgl. meinen Kommentar oben).
Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ereignisse sind nämlich in der Aufgabenstellung direkt gegeben, zB. ist (in vereinfachter Schreibweise) P_p(0,1,1) = p^{Anzahl Einsen}*(1-p)^{Anzahl Nullen} = p^2*(1-p)^1. Erst im Nachhinein stellt sich dann heraus, dass man diesen Term so interpretieren kann, dass er die Wahrscheinlichkeit für den Wurf ZKK bei einer Münze mit P(K)=p darstellt.

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Es gibt keinen Nobelpreis für Mathematik,

Den wird es bis dahin geben.

Ich werde ihn anregen und mich einmalig mit 10 Euro beteiligen. :)

Mich wundert ohnehin, dass es keinen gibt, wo doch die Mathematik

die Königin aller Wissenschaften ist, weil infallibel, solange man alles

auf ihre Axiome zurückführen kann, die letztlich auch nur Plausibiltäten sind,

wie der Wortursprung sagt.

Ich lernte einst in Altgriechisch: axioo = ich halte für wahr, würdig, richtig.

Sie verdanken sich wie alles dem bloßen Zufall, einem interessanten Zufall,

nicht mehr oder weniger.