Aloha :)
Mit \(\ln(\sqrt x)=\ln(x^{\frac12})=\frac12\ln(x)=\frac{\ln(x)}{2}\) schreiben wir den Integranden um$$I(x)=\int\frac1x\cos(\ln(\sqrt x))\,dx=\int\frac1x\cos\left(\frac{\ln(x)}{2}\right)dx=2\int\cos\left(\frac{\ln(x)}{2}\right)\cdot\frac{1}{2x}\,dx$$
substituieren im nächsten Schritt$$u\coloneqq\frac{\ln(x)}{2}\implies\frac{du}{dx}=\frac{1}{2x}\implies du=\frac{1}{2x}\,dx$$
lösen damit das Integral$$I(x)=2\int\cos(u)\,du=2\sin(u)+\text{const}$$und machen schließlich die Substitution wieder rückgängig:$$I(x)=2\sin\left(\frac{\ln(x)}{2}\right)+\text{const}$$
Für \(x\to0\) und für \(x\to\infty\) konvergiert \(I(x)\) jedoch nicht, daher ist:$$\int\limits_0^\infty\frac1x\cos(\ln(\sqrt x))\,dx=\text{unbestimmt}$$
