Vektorrechnung: Bohrloch gesucht

Question

Aufgabe:

Auf dem Marktplatz im Zentrum einer Stadt steht ein quadratische Pyramide mit 6m Seitenlänge und 7m Höhe. Anlässlich des Stadtjubiläums soll auf einer Seitenfläche eine quadratische Gedenktafel angebracht werden, die einer Seitenlänge von 1m hat.
a) Wie steil sind die Seitenflächen der Pyramide, unter welchem Winkel stoßen die benachbarten Seiten zusammen?
b) Es gibt Überlegungen, ob man zur Befestigung der Gedenktafel mit einem Bohrloch auskommen kann, wenn man senkrecht zur Seitenfläche so bohrt, dass der Bohrrichtung auf dem Mittelpunkt der der gegenüberliegenden Grundkante zielt.. Wählen sie einer der vieri Seitenflächen aus und bestimmen Sie auf ihr die Lage des geplanten Bohrlochs. Beschreiben sie die Lage des Bohrlochs auf der Seitenfläche unabhängig von der gewählten Seitenfläche möglichst genau.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe a habe ich hinbekommen. Bei der Aufgabe b habe ich folgenden Ansatz:

Ich habe die Ebene ABS aufgestellt, wobei ich den Ursprung als Mittelpunkt der Pyramide genommen habe. Dann habe ich den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Gerade CD berechnet (0/3/0). Jetzt habe ich eine Hilfsgerade konstruiert (0/3/0)+r x (0/-42/18) Stimmt das (?). Dann habe ich die Hilfsgerade mit der Ebene gleichgesetzt und bekam s=0,345 t= 0.345 r= 0,121 raus. Stimmt (?). Diese Werte habe ich dann in meine Gerade eingesetzt und bekam als Bohrloch (0/-2,069/2,172) heraus. Stimmt das?

Falls mir jemand dabei helfen kann, wäre ich absolut dankbar......

Comments

Ich habe die Ebene ABS aufgestellt, wobei ich den Ursprung als Mittelpunkt der Pyramide genommen habe.

Vermutlich meinst du den Ursprung als Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide.

Dann habe ich den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Gerade CD berechnet (0/3/0).

Wenn N der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{CD} \) ist, kann bei geeigneter Benennung \( \vec{CN} \)=\( \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} \) sein.

Aus deinem Lösungsvorschlag werde ich nicht schlau.

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Vielen Dank erst einmal für eure Antworten: Ich probiere mich klarer auszudrücken.

Es ist richtig: Ich habe den Ursprung als Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide gewählt.

Ich erhielt: A (-3/-3/0); B(3/-3/0); C(3/3/0) und D(-3/3/0) S (0/0/7)

Dann habe ich die Ebenengleichung ABS aufgestellt E: (0/0/7)+s ∙ (-3/-3/-7) + t ∙ (3/-3/-7)

Dann Mittelpunkt der Seite CD : (0/3/0)

Jetzt habe ich g aufgestellt: g: (0/3/0) + r ∙ (0/-42/18)

Dann habe ich die Gerade g mit der Ebene gleichgesetzt g= E

Daraus bekam ich die Ergebnisse s=0,345 t= 0.345 r= 0,121 raus. Diese Werte habe ich dann in meine Gerade eingesetzt und bekam als Bohrloch (0/-2,069/2,172) heraus.

Hoffe, dass ich es diesmal besser ausdrücken konnte...sorry

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Der Anfang ist schon deutlich besser. Dann aber kommt wieder deine Hilfsgerade g. Welche Bedingungen erfüllt g - außer das sie Hilfsgerade ist (Hilfe wobei?)?

Rechne bitte mit Bruchstrich-Brüchen, statt mit ungenauen Dezimalbrüchen.

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Welche Bedingungen erfüllt g

die aus der Aufgabenstellung:

wenn man senkrecht zur Seitenfläche so bohrt, dass der Bohrrichtung auf dem Mittelpunkt der der gegenüberliegenden Grundkante zielt.

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Das habe ich mit auch gedacht aber dann wäre r = - \( \frac{2}{49} \), s = - \( \frac{11}{14} \) und t = - \( \frac{11}{14} \).

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Das habe ich mit auch gedacht aber dann wäre r = - \( \frac{2}{49} \), s = - \( \frac{11}{14} \) und t = - \( \frac{11}{14} \).

Sicher nicht. Der Richtungsvektor von \(g\) zeigt nach oben. Damit muss \(r\gt 0\) sein, Weiter hat Mathegenie01 \(S\) als Aufpunkt und die Seitenkanten \(\vec{SA}\) und \(\vec{SB}\) als Richtungsvektoren der Ebene \(ABS\) gewählt. Somit müssen \(s\) und \(t\) zwangsläufig im Intervall \([0...1]\) liegen mit der zusätzlichen Bedingung, dass \(s+r\lt 1\).

Ansonsten läge das Bohrloch ja gar nicht auf der Seitenfläche.

Das zu lösende LGS ist$$\begin{pmatrix}-3& 3& 0\\ -3& -3& 42\\ -7& -7& -18\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s\\ t\\ r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 3\\ -7\end{pmatrix}$$

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Ja..so steht es in der Aufgabe

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Diese Gleichungssystem hatte ich und bekam als Ergebnisse:

s= 10/29

t= 10/29

r= 7/58

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Dein Ergebnis ist jetzt richtig.

Answer 1

Hallo,

... und bekam s=0,345 t= 0.345 r= 0,121 raus. Stimmt (?). Diese Werte habe ich dann in meine Gerade eingesetzt und bekam als Bohrloch (0/-2,069/2,172) heraus. Stimmt das?

der Wert für \(r\) ist korrekt. \(s\) und \(t\) kann ich nicht beurteilen, da Du die Ebenengleichung nicht angegeben hast.

ansonsten ist alles richtig!

(klick auf das Bild)

Comments

Dann habe ich die Ebenengleichung ABS aufgestellt E: (0/0/7)+s ∙ (-3/-3/-7) + t ∙ (3/-3/-7)

dann sind die Werte für \(s\) und \(t\) auch korrekt:$$s=t=\frac{10}{29} \approx 0,345$$

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Vielen lieben Dank für die Unterstützung und für das " sich einfach mal für eine fremde Person Zeit nehmen, weil sie Mathe nicht kann....." ....ich schicke euch ganz viele Sonnenstrahlen und wünsche euch ein schönes erholsames Wochenende....

Herzliche Grüße.....