Zeigen Sie, dass f nicht

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion, die jeden Wert y ∈ ℝ genau zweimal annimmt. Zeigen Sie, dass f nicht
stetig ist.

Hinweis: führen Sie die Annahme, f sei stetig, zu einem Widerspruch. Starten Sie dazu mit einem beliebigen y ∈ ℝ, wählen Sie zwei Punkte a < b mit f(a) = y = f(b). Betrachten Sie die beiden Fälle f(\( \frac{a+b}{2} \) ) > y oder f(\( \frac{a+b}{2} \)) < y. Zeigen Sie für den ersten Fall, dass f(x) < y für alle x < a und alle x > b (Zwischenwertsatz), und folgern Sie daraus, dass f auf ganz ℝ nach oben beschränkt ist. Warum ist das ein Widerspruch?

Problem/Ansatz:

wäre nett wenn mir wer helfen würde verstehe das thema überhauptnicht ):

Comments

Hallo

da stehen doch sehr genaue Anweisungen , was daran kannst du nicht durchführen?

Gruß lul

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ist da so richtig??

Angenommen, f ist stetig und man wählt einen Wert y ∈ ℝ , der von f genau zweimal

angenommen wird ⇒ es existieren zwei Punkte a < b mit f(a) = y = f(b).

für f(\( \frac{a+b}{2} \) ) > y gilt nach dem Zwischenwertsatz für jeden Wert x zwischen a und (\( \frac{a+b}{2} \) ) einen Wert z mit f(x)=z und  y < c <(\( \frac{a+b}{2} \) ), f ist stetig ⇒ f(x) nimmt für alle x<(\( \frac{a+b}{2} \) ) Werte zwischen y und f(\( \frac{a+b}{2} \) ) an.

⇒f(x) nimmt für alle x > (\( \frac{a+b}{2} \) ) Werte zwischen y und f(\( \frac{a+b}{2} \) ) an.

⇒f(x) < y für alle x < a und f(x) < y für alle x > b.

⇒f ist auf ganz ℝ nach oben beschränkt . ( weil y ein beliebiger Wert war, den f genau zweimal annimmt)

⇒Wiederspruch, da f nach oben beschränkt ist, kann f nicht alle Werte zweimal annehmen da es einen größten Wert geben würde, den es nur einmal erreicht

Answer 1

Hallo

nein

dein Widerspruch ist so falsch eine Funktion, die jeden Wert auf R annimmt kann nicht beschränkt sein!