Aloha :)
Wir malen uns die Situation zunächst auf:
~plot~ e^x ; 1-x ; e ; [[-2|1,5|0|3]] ~plot~
Den Integrationsbereich können wir fassen, indem wir \(y\in[1;e]\) wählen und fest halten.
Nach links begrenzt die Gerade \(y=1-x\) die Fläche, d.h. \(x\ge1-y\).
Nach rechts begrenzt die Funktikon \(y=e^x\) die Fläche, d.h. \(x\le\ln y\)
Das führt uns auf folgenden Ansatz zur Berechnung der Fläche:
$$F=\int\limits_{y=1}^e\;\;\int\limits_{x=1-y}^{\ln y}\,dx\,dy=\int\limits_{y=1}^e\left[x\right]_{x=1-y}^{\ln y}dy=\int\limits_{y=1}^e\left(\ln y+y-1\right)\,dy$$
Wie heutzutage üblich, ist der schwerste Teil der Aufgabe, nämlich das Integral über \(\ln y\) bereits als Tipp angegeben, sodass du das Integral sofort hinschreiben kannst:$$F=\left[\ln(y)\cdot y-y+\frac{y^2}{2}-y\right]_{y=1}^e=\left(\frac{e^2}{2}-e\right)-\left(\frac12-2\right)=\frac{e^2-2e+3}{2}$$Die gesuchte Fläche ist daher:$$F=1+\frac{(e-1)^2}{2}$$
Ergänzung:
Ich habe den Eindruck, man versucht euch durch die Angabe von vermeintlichen Tipps bewusst dumm zu halten. Zur Integration von \(\ln (x)\) kann man als Trick die sogenannte "Multiplikation einer nahrhaften Eins" verwenden:$$\int\ln(x)\,dx=\int\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{v}\,dx=\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\ln(x)}_{v}-\int\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\frac1x}_{v'}\,dx$$$$\phantom{\int\ln(x)\,dx}=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+\text{const}$$
