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Aufgabe:

Integriere $$f(x)=x^2+tan^2(x^3)*x^2$$

Hinweis: Es ist $$tan'(x)=1+tan^2(x)$$


Problem/Ansatz:

Ich habe das Integral erstmal aufgeteilt

$$\int x^2 + \int tan^2(x^3)*x^2$$

Dann habe ich substituiert

$$u = x^3 -> du= 3x^2dx -> dx =1/(3x^2) du$$


Also habe ich $$\int tan^2(u)*x^2*1/(3x^2) du$$

Das vereinfacht sich zu $$1/3 \int tan^2(u) du$$


Weiter komme ich nicht. Geht das jetzt mir partieller Integration indem ich tan^2(x)*1 mache?

Aber ich kann die partielle Integration nicht durchführen.


Ich bitte um Hilfe

Avatar von

Benutze den Hinweis

Auf diesen running gag habe ich gewartet.

Und ich auf den typischen Lehrerkommentar, die wieder genauso deplatziert ist wie der

"gräßliche" gestrige.

Viel Spaß beim Ausgeben des Schmerzensgeldes.

Ist der Gehaltsanteil gefühlt schon bei über 50% angelangt?

2 Antworten

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Hast du den Hinweis

\(tan'(x)=1+tan^2(x)\)

ignoriert?

Man kann den Hinweis auch schreiben als

\(tan(x)=\int\limits_{}^{}(1+tan^2(x))dx\).

Und wenn du nun eine Stammfunktion für \(1+tan^2(x)\)  kennst, solltest du auch eine Stammfunktion für \(tan^2(x)\) finden.

Avatar von 55 k 🚀

okay also $$tan(x)= \int (1+tan^2(x))$$

Dann ist $$\int (1+tan^2(x))^2= tan^2(x)$$


Oder?

Das ist Unfug.

\(tan(x)=\int\limits_{}^{}(1+tan^2(x))dx\)

kannst du schreiben als

\(tan(x)=\int\limits_{}^{}1dx + \int\limits_{}^{}(tan^2(x))dx\),

also gilt

\( \int\limits_{}^{}(tan^2(x))dx=tan(x)-\int\limits_{}^{}1dx\)

bzw. für deine vorgenommene Substitution

\( \int\limits_{}^{}(tan^2(u))du=tan(u)-\int\limits_{}^{}1du\)

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Aloha :)

Gesucht sind die Stammfunktionen \(F(x)\) zu$$f(x)=x^2+\tan^2(x^3)\cdot x^2=x^2\cdot(1+\tan^2(x^3))$$

Dank des Hinweises, brauchst du hier gar nichts mehr zu integrieren:$$\tan'(x)=1+\tan^2(x)\stackrel{\text{Kettenregel}}{\implies}\tan'(\pink{x^3})=\underbrace{(1+\tan^2(\pink{x^3})}_{\text{äußere Abl.}})\cdot\underbrace{\pink{3x^2}}_{\text{innere Abl.}}$$Jetzt nur noch durch \(3\) dividieren und da steht:$$\frac13\tan'(x^3)=x^2\cdot(1+\tan^2(x^3))=f(x)$$Das war's auch schon:$$F(x)=\frac13\tan(x^3)+\text{const}$$

Avatar von 152 k 🚀

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