Geht das jetzt mir partieller Integration indem ich tan^2(x)*1 mache?

Question

Aufgabe:

Integriere $$f(x)=x^2+tan^2(x^3)*x^2$$

Hinweis: Es ist $$tan'(x)=1+tan^2(x)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe das Integral erstmal aufgeteilt

$$\int x^2 + \int tan^2(x^3)*x^2$$

Dann habe ich substituiert

$$u = x^3 -> du= 3x^2dx -> dx =1/(3x^2) du$$

Also habe ich $$\int tan^2(u)*x^2*1/(3x^2) du$$

Das vereinfacht sich zu $$1/3 \int tan^2(u) du$$

Weiter komme ich nicht. Geht das jetzt mir partieller Integration indem ich tan^2(x)*1 mache?

Aber ich kann die partielle Integration nicht durchführen.

Ich bitte um Hilfe

Comments

Benutze den Hinweis

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vgl:

https://www.integralrechner.de/

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Auf diesen running gag habe ich gewartet.

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Und ich auf den typischen Lehrerkommentar, die wieder genauso deplatziert ist wie der

"gräßliche" gestrige.

Viel Spaß beim Ausgeben des Schmerzensgeldes.

Ist der Gehaltsanteil gefühlt schon bei über 50% angelangt?

Answer 1

Hast du den Hinweis

\(tan'(x)=1+tan^2(x)\)

ignoriert?

Man kann den Hinweis auch schreiben als

\(tan(x)=\int\limits_{}^{}(1+tan^2(x))dx\).

Und wenn du nun eine Stammfunktion für \(1+tan^2(x)\)  kennst, solltest du auch eine Stammfunktion für \(tan^2(x)\) finden.

Comments

okay also $$tan(x)= \int (1+tan^2(x))$$

Dann ist $$\int (1+tan^2(x))^2= tan^2(x)$$

Oder?

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Das ist Unfug.

\(tan(x)=\int\limits_{}^{}(1+tan^2(x))dx\)

kannst du schreiben als

\(tan(x)=\int\limits_{}^{}1dx + \int\limits_{}^{}(tan^2(x))dx\),

also gilt

\( \int\limits_{}^{}(tan^2(x))dx=tan(x)-\int\limits_{}^{}1dx\)

bzw. für deine vorgenommene Substitution

\( \int\limits_{}^{}(tan^2(u))du=tan(u)-\int\limits_{}^{}1du\)

Answer 2

Aloha :)

Gesucht sind die Stammfunktionen \(F(x)\) zu$$f(x)=x^2+\tan^2(x^3)\cdot x^2=x^2\cdot(1+\tan^2(x^3))$$

Dank des Hinweises, brauchst du hier gar nichts mehr zu integrieren:$$\tan'(x)=1+\tan^2(x)\stackrel{\text{Kettenregel}}{\implies}\tan'(\pink{x^3})=\underbrace{(1+\tan^2(\pink{x^3})}_{\text{äußere Abl.}})\cdot\underbrace{\pink{3x^2}}_{\text{innere Abl.}}$$Jetzt nur noch durch \(3\) dividieren und da steht:$$\frac13\tan'(x^3)=x^2\cdot(1+\tan^2(x^3))=f(x)$$Das war's auch schon:$$F(x)=\frac13\tan(x^3)+\text{const}$$