Parametertransformation, wie mache ich jetzt weiter?

Question

ich habe mal wieder ein mathematisches Problem.
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich weiter machen muss, bzw. ob ich richtig angefangen hab.

Aufgabe:
Wir wollen den freien Fall eines Objektes simulieren. Ein Objekt werde zum Zeitpunkt t = 0 bei P0 = (0, 1000) losgelassen, es schlägt zum Zeitpunkt t1 bei P1 = (0, 0) ein.

a) Wie lautet die Kurve P(t), die P0 und P1 fur 0 ≤ t ≤ 1 durch eine Gerade verbindet?
Meine Antwort:
$$P(t)\quad =\quad P0\quad +\quad t*(P1-P0)\\ =\quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 1000 \end{matrix} \right) +\quad t*\left( \begin{matrix} 0-0 \\ 0-1000 \end{matrix} \right) \\ =\quad \left( \begin{matrix} 0 \\ 1000 \end{matrix} \right) +\quad t*\left( \begin{matrix} 0 \\ -1000 \end{matrix} \right) $$

b) Die Geschwindigkeit entwickelt sich linear mit v(t) = 9.81 · t. Der zurückgelegte Weg ist damit
s(t) = ∫₀^t 9,81 * t dt = 9,81/2 * t²
 Wie lange dauert es, bis das Objekt bei P1 aufschlägt? t1 = ?
Meine Antwort:
$$s(t_{ 1 })\quad =\quad \int _{ 0 }^{ t_{ 1 } }{ 9,81\quad *\quad t_{ 1 }\quad dt_{ 1 }\quad =\quad  } \frac { 9,81 }{ 2 } *\quad { t_{ 1 } }^{ 2 }$$

c) Geben Sie eine Parametertransformation ϕ(t) : [0, t1] → [0, 1] an, sodass P(ϕ(t)) den Fall des Objektes richtig modelliert.
Bei C bin ich mir nicht sicher wie ich anfangen sollte..

Answer 1

Aufschlag bei  t= 9,81/2 * t1^2  .  bei deinem Modell allerdings Aufschlag bei t=1
also muss die Transformation so aussehen, dass phi(t1) = 1 gilt und phi(t) ist ja von
der Form a*t  also  
                        a* 9,81/2 * t1^2  = 1
                                            a = 0,2039/t1^2

phi(t) =  0,2039/t1^2* t

Comments

Hmm wie genau kommt jetzt das a*t zu stande?
Und du meinst wohl jetzt Aufgabe b) richtig?

Kannst du es vielleicht detaillierter schreiben?

Ist dann phi(t1) = 9,81/2 * t1²
Und was ist dann phi(t)?

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phi(t) hast du ja geschrieben, dennoch komm ich nicht weiter.

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Ich hab gerade das Gefühl, das war eh Quatsch.
Du hattest doch s(t1) = 9,81/2 * t1^2

Wenn bei t1 der Aufschlag ist, muss die Weglänge ja 1000 sein.

und 9,81/2 * t1^2 = 1000 gibt     t1 = 14,3

Dann wäre phi(t) = 1/14,3 * t
Das scheint auch sinnvoller zu sein, denn die Geradengleichung ist dann
ja

(o/1000)  +    t/14,3 * ( 0 / -1000)   und das gibt für t=14,3 wirklich (0/0).

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Ok ich komme so langsam dahinter :)
Kannst du mir nochmal erklären wie genau bei:
(o/1000)  +    t/14,3 * ( 0 / -1000) ,  das t/14,3 zustande kommt?

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Es geht doch darum, dass der Fall insgesamt 14,3 s dauert.

und bei der Gleichung würde man gern für t die Anzahl der bereits vergangenen

Sekunden einsetzen. Dann müsst für t=0 als Position  (o/1000)

herauskommen und für t= 14,3 müsste als Position  (o/0)

herauskommen.

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Hallo mathef, ich weiss, diese Frage ist schon mehrere Tage alt,
jedoch wollte ich noch einmal wissen, ob du mir bei der Aufgabe c) weiterhelfen kannst? Ich vertiefe mich gerade nochmal in diese Themen, um bei der Prüfung bestens vorbereitet zu sein.