Aufgabe:
Untersuche die Funktion f : R4×4 → R4×4, f(A) = A2, auf Differenzierbarkeit und bestimme Df(A0) für alle Stellen A0∈ R4×4, an denen sie differenzierbar ist.
Hinweis: Die Antwort "Df(A0) = 2A0 für alle A0 ∈ R4×4" ist falsch.
Tipp: Gib Df(A0) an, indem du die Lücken in Df(A0): → , H 7→ füllst.
Problem/Ansatz:
Hey ihr, ich habe gerade Probleme bei dieser Aufgabe (Analysis 2). Ich habe versucht, erstmal f(A0+h) zu berechnen. (Ziel bei Diffbarkeit ist ja f(x0+h) = f(x0)+A*h+φ(h)... Ich habe aber das Gefühl, dass das sehr aufwendig ist (Matrixmultiplikation!) und frage mich, ob es einen besseren Weg gibt... Ich habe keine Ahnung...
Danke für eure Hilfe!
Text erkannt:
a) Für \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) sei
\( \|A\|_{2}:=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} . \)
Zeige: Es gilt, dass \( \|\cdot\|_{2} \) submultiplikativ ist, dass also für \( A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
\( \|A B\|_{2} \leq\|A\|_{2}\|B\|_{2} \)
Hinweis: Cauchy-Schwarz-Ungleichung (bzw. Hölder-Ungleichung für \( p=2 \) ).
b) Untersuche die Funktion \( f: \mathbb{R}^{4 \times 4} \rightarrow \mathbb{R}^{4 \times 4}, f(A)=A^{2} \), auf Differenzierbarkeit und bestimme \( D f\left(A_{0}\right) \) für alle Stellen \( A_{0} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \), an denen sie differenzierbar ist.
Hinweis: Die Antwort \( { }_{,} D f\left(A_{0}\right)=2 A_{0} \) für alle \( A_{0} \in \mathbb{R}^{4 \times 4 \text { 4a }} \) ist falsch.
Tipp: Gib \( D f\left(A_{0}\right) \) an, indem du die Lücken \( \square \) in \( D f\left(A_{0}\right): \square \rightarrow \square, H \mapsto \square \) füllst.
