Untervektorraum über einen Primzahlkörper?

Question

In der VL wurde gesagt, dass (-1) immer Element eines Körpers ist, da es das additive Inverse zum Einselement ist.

Nun gibt es ja den Primzahlkörper ℙ₂.

Theoretisch ist ja -1 = 1 in diesem Körper.

Dann wurde behauptet: Um zu bestimmen ob U über dem Körper K ein Untervektorraum von V über dem Körper K ist, ist es äquivalent, ob das Nullelement in U enthalten ist, oder ob der Untervektorraum U ungleich der leeren Menge ist, solange man voraussetzt, dass U für die Vektoraddition und Skalare Multiplikation für jedes a ∈ K abgeschlossen ist.

Denn solange U ein Element, z.B. 1 hat, muss durch die Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation auch -1 * 1 = -1 in U sein, und durch die additive Abgeschlossenheit dann auch 1 + (-1) = 0.

-1 ist ja ein a aus K, und es muss in K sein, auf Grund der Erklärung oben.

Nun frage ich mich, wie wird das dann über einen Primzahlkörper behandelt? Die -1 existiert in diesem Sinne ja nicht.

Comments

Die -1 existiert in diesem Sinne ja nicht.

Das verstehe ich nicht. Es gilt doch -1=1 und

die 1 existiert doch.

Answer 1

Nun frage ich mich, wie wird das dann über einen Primzahlkörper behandelt?

Sie wie über jedem anderen Körper auch.

Die -1 existiert in diesem Sinne ja nicht.

Die -1 existiert. In welchem Sinne sollte sie denn deiner Meineung nach nicht existieren.

Theoretisch ist ja -1 = 1 in diesem Körper.

Und die 1 existiert in diesem Körper. Weil laut deiner Aussage -1 und 1 die gleiche Zahl sind, muss -1 in dem Körper auch existieren.

Comments

Also verhält die 1 sich wirklich exakt wie die -1 in diesem Körper?

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Sie verhält sich nicht nur wie die -1. Sie ist die -1.