Aufgabe:
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Aufgabe 12.2. [Windung der kanonischen Schraubenlinie und Astroide]
a) Wir betrachten die Kurve \( \Gamma \), parametrisiert durch
\( \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t):=(t \cos (t), t \sin (t), t) . \)
Berechnen Sie das Kurvenintegral
\( \int \limits_{\Gamma}\left(2 z-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} s . \)
b) Wir betrachten die Kurve \( \Gamma \), parametrisiert durch
\( \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \gamma(t):=\left(\cos ^{3}(t), \sin ^{3}(t)\right) . \)
Berechnen Sie die Länge von \( \Gamma \).
Problem/Ansatz:
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Aufgabe 2:
\( \text { a) } \begin{aligned} & T(t)=\gamma^{\prime}(t)=(-t \sin (t), t \cos (t), 1) \\ d s & =\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t=\sqrt{(-t \sin (t))^{2}+(t \cos (t))^{2}+1^{2}} d t \\ & =\sqrt{t^{2} \sin ^{2}(t)+t^{2} \cos ^{2}(t)+1} d t=\sqrt{t^{2}\left(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)\right)+1} d t \\ & =\sqrt{t^{2}+1} d t \\ \Rightarrow & \int \limits_{0}^{2 \pi} 2 z-\sqrt{x^{2}+y^{2}} d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} 2 t-\sqrt{t^{2} \cos ^{2}(t)+t^{2} \sin ^{2}(t)} \sqrt{t^{2}+1} d t \\ & =\int \limits_{0}^{2 \pi} 2 t-\sqrt{t^{2}} \sqrt{t^{2}+1} d t \\ & =\int \limits_{0}^{2 \pi}(2 t-t) \sqrt{t^{2}+1} d t \\ & =\int \limits_{0}^{2 \pi} t \sqrt{t^{2}+1} d t \end{aligned} \)
b) Berechne die Lange von \( \Gamma \) :
\( L=\int \limits_{a}^{b}\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t \text {. } \)
\( \begin{array}{l} \gamma(t)=\left(\cos ^{3}(t), \sin ^{3}(t)\right) \Rightarrow \gamma^{\prime}(t)=\left(-3 \cos ^{2}(t) \sin (t), 3 \sin ^{2}(t) \cos (t)\right) \\ \& L=\int \limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left(-3 \cos ^{2}(t) \sin ^{2}(t)\right)^{2}+\left(3 \sin ^{2}(t) \cos (t)\right)^{2}} d t \\ =\int \limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left(9 \cos ^{4}(t) \sin ^{2}(t)\right)+\left(9 \sin ^{4}(t) \cos ^{2}(t)\right)} d t \\ =\int \limits_{0}^{\pi} 3 \sqrt{\left(\cos ^{4}(t) \sin ^{2}(t)\right)+\left(\sin ^{4}(t) \cos ^{2}(t)\right)} d t \\ =3 \int \limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{\cos ^{2}(t) \sin ^{2}(t) \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t) d t}=3 \int \limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{\cos ^{2}(t) \sin ^{2}(t)} d t \\ =\left.3|\cos (t) \sin (t)|\right|_{0} ^{2 \pi}=6 . \end{array} \)
