Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung:

\( \frac{1}{e^{-ix}} \) - \( \frac{1}{e^{ix}} \) = -2i

Antwortmöglichkeiten:

L={π/4+πk|k∈Z}
L={πk|k∈Z}
L={2πk|k∈Z}
L={π/2+2πk|k∈Z}
L={3π/2+2πk|k∈Z}

Answer 1

Lösungsweg

\(\frac{1}{e^{-ix}}-\frac{1}{e^{ix}}=-2i |*e^{ix}\)

\(e^{2ix}-1=-2i*e^{ix}\)

\(e^{2ix}+2i*e^{ix}=1\)

\((e^{ix}+i)^2=1+i^2=0\)

\(e^{ix}=-i\)

\(ix=ln(-i)\)

Mit Wolfram:

\(x=\frac{ln(-i)}{i}=\frac{3}{2}π\)

Answer 2

Nutze $$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Comments

Wo kommen solche Gleichungen in der praktischen Anwendung vor?

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Es handelt sich hier um eine Formel von Euler.

Solche Formeln werden bei Berechnungen

von Wechselstromnetzen verwendet, die man ja

am besten im komplexen durchführen kann.

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Danke dir.

Das habe ich vermutet, weil ich weiß, dass beim Strom mit j oder i gearbeitet wird.