(ii) Für welches a ∈ ℝ hat \vec{v} ein Potential?

Question

Aufgabe:

\(\vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} a(x+3 y) \\ 6(x+3 y) \\ 2 z \end{array}\right), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \)

mit einem Parameter \( a \in \mathbb{R} \) und die Kurve

\( \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c} \cos 2 t \\ \sin 2 t \\ e^{t} \end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi] \)

(i) Berechnen Sie für alle \( a \in \mathbb{R} \) das Kurvenintegral \( \int \limits_{\vec{\gamma}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{d s} \).

(ii) Für welches \( a \in \mathbb{R} \) hat \( \vec{v} \) ein Potential? Geben Sie für diesen Fall ein Potential an und berechnen Sie das Integral aus (i) nochmals mit Hilfe dieses Potentials.

Problem/Ansatz:

Kann einer bei dem 2. teil weiterhelfen

Answer 1

Hallo

bestimme v(γ(t)) und γ'(t), integriere das Skalarprodukt  nach dt von 0 bis 2pi

Gruß lul von

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Text erkannt:

\( S_{\vec{v}} \vec{v} \cdot d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} \vec{v}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}(t) t t \cdot t=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c}a(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 6(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 2 e^{t}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \sin (2 t) \\ 2 \cos (2 t) \\ e^{t}\end{array}\right) d t \)

ich hab das so gemacht, aber komme nicht weiter.

Answer 2

Damit \(\vec v\) ein Potential besitzt, muss \({\rm rot}\vec v=0\) sein. Schreib das hin, es sind drei Bedingungen. Danach kennst Du den gefragten Wert von \(a\).

Zum Bestimmen des Potentials gibt es mehrere Möglichkeiten, u.a. eine schnelle für die, die verstanden haben, was eine Stammfunktion ist und eine rechenaufwendige für die anderen.

Bestimme erstmal das \(a\).

Comments

können sie zeigen wie es geht, ich versteh es nicht so richtig bzw. kriege es nicht richtig hin.

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Was ist denn konkret dein Problem? Weißt du, was die Rotation ist, kannst du partiell ableiten? Wie weit bist du gekommen?

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Text erkannt:

Bedinasumpe rot \( \vec{v}=0 \)
\( \operatorname{rot} \vec{V}=\left(\begin{array}{l} \frac{\partial v_{3}}{\partial y}-\frac{\partial V_{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial V_{1}}{\partial z}-\frac{\partial v_{3}}{\partial x} \\ \frac{\partial v_{2}}{\partial x}-\frac{\partial v_{1}}{\partial y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0-0 \\ 0-0 \\ 6-3 a \end{array}\right) \)

Wenn ich so die rotation nehme und a =2 ist , ist es richtig?

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Aha, siehste, geht doch. Soweit richtig. Wie habt ihr nun in der Vorlesung Potentiale (Stammfunktionen) bestimmt?

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Ich komm halt nicht an der letzen stelle hier weiter, gibt es einen weg,es "schön" zu berechnen

Text erkannt:

\( S_{\vec{v}} \vec{v} \cdot d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} \vec{v}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}(t) t t \cdot t=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c}a(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 6(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 2 e^{t}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \sin (2 t) \\ 2 \cos (2 t) \\ e^{t}\end{array}\right) d t \)

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Moment mal, jetzt bist du bei (i). Eben waren wir bei (ii).

Aber egal: hast du an dieser Stelle schon aufgegeben? Rechne weiter, fasse zusammen (Tipp: trig. Pythagoras).

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Bei aufgabe ii) muss man ja exakt das gleiche nochmal mit a ausrechnen und in beiden teilen komme ich nach dem aufstellen an dieser stelle nicht weiter

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Nein, nicht das gleiche nochmal: in (i) ist ein Kurvenintegral zu berechnen, das ist eine Zahl (die hier noch von \(a\) abhängt). In (ii) eine Stammfunktion, das ist eine Funktion, das ist eine völlig andere Rechnung.

Wie's weitergeht, sagte ich ja: weiterrechnen, Skalarprodukt usw.

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hallo

bilde doch das Skalarprodukt, Wenn du danach Schwierigkeiten hast, sieh trigonometrische Formelsammlung nach oder lass dir von Integralrechner.de helfen, der zeigt auch den Rechenweg.

lul

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Zur Kontrolle: Ich komme auf \(-6\pi(a-2)+e^{4\pi-1}\) (ohne Gewähr, ist mühselig, braucht aber keine besonderen Integrationstricks). Die Formel \(\sin (4t) =2\sin (2t)\cos (2t)\) hilft (etwas).

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Hallo

Probe, für a=2 muss es ja unabhängig vom Weg sein d.h, direkt nach (1,0,e^t)

dann sieht man auch den Tipfehler : e^4π -1

Gruß lul

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@lul danke. Also nochmal ordentlich: Ergebnis ist \(-6\pi(a-2)+e^{4\pi}-1\).