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Es sei K ein Körper. Die Spur einer Matrix in Kn×n K^{n\times n}  ist die Summe ihrer Hauptdiagonalenelemente.

Zeigen Sie, dass SpurAB = SpurBA für alle A, B \in Kn×n K^{n\times n} , und dass zwei ähnliche Matrizen inKn×n K^{n\times n}  dieselbe Spur haben. Wie würden Sie die Spur einer linearen Abbildung T : VV T : V \rightarrow V für einen n-dimensionalen Vektorraum V über K defnieren?

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Zu Spur AB=Spur BA:Spur(AB)=i=1n(AB)ii=i=1nj=1naijbji==j=1ni=1nbjiaij=j=1n(BA)jj=Spur(BA)Spur(AB)=\sum_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}=\\=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}=\sum_{j=1}^n(BA)_{jj}=Spur(BA)

Zur Aussage über die Spur ähnlicher Matrizen:

Spur(S1AS)=Spur(S1(AS))=Spur((AS)S1)=Spur(S^{-1}AS)=Spur(S^{-1}(AS))=Spur((AS)S^{-1})=

=Spur(A(SS1))=Spur(A)=Spur(A(SS^{-1}))=Spur(A).

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