Zeigen Sie, dass SpurAB = SpurBA fur alle A, B ∈ K^{nxn} , und dass zwei ähnliche

Question

Es sei K ein Körper. Die Spur einer Matrix in \( K^{n\times n} \) ist die Summe ihrer Hauptdiagonalenelemente.

Zeigen Sie, dass SpurAB = SpurBA für alle A, B \( \in \)\( K^{n\times n} \), und dass zwei ähnliche Matrizen in\( K^{n\times n} \) dieselbe Spur haben. Wie würden Sie die Spur einer linearen Abbildung \( T : V \rightarrow V \)für einen n-dimensionalen Vektorraum V über K defnieren?

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Habe meine Antwort vervollständigt.

Answer 1

Zu Spur AB=Spur BA:$$Spur(AB)=\sum_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}=\\=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}=\sum_{j=1}^n(BA)_{jj}=Spur(BA)$$

Zur Aussage über die Spur ähnlicher Matrizen:

\(Spur(S^{-1}AS)=Spur(S^{-1}(AS))=Spur((AS)S^{-1})=\)

\(=Spur(A(SS^{-1}))=Spur(A)\).