Zeigen: Norm induziert Metrik.

Question

Aufgabe:

Hallo

wie kann man Rückrichtung ( <= ) folgender Aussage beweisen?

Wir wissen, dass jede Norm eine Metrik induziert, aber die Umkehrung stimmt nicht immer. Zeigen Sie, dass eine Metrik d auf Rⁿ genau dann durch eine Norm || . || induziert ist, wenn d die folgenden Bedingungen erfüllt:

Translationsinvarianz : Für alle x,y,z e R^n gilt d(x + z, y + z) = d(x,y)

Homogenität              : Für alle a e R und x,y,z e R^n gilt d(ax,ay) = |a| d(x,y)

Problem/Ansatz:

für => ( Siehe Bild )

Wie geht die Rückrichtung? bzw der 1. Schritt

Text erkannt:

2
\( \text { 1) } \begin{aligned} & d(\vec{x}+\vec{z}, \vec{y}+\vec{z})=\|(\vec{x}+\vec{z})-(\vec{y}+\vec{z})\| \\ = & \|(\vec{x}+(\vec{z}-\vec{z})-\vec{y})\|=\|\vec{x}-\vec{y}\|=d(\vec{x}, \vec{y}) \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \) Tranlationsmarianz
2)
\( \text { 2) } \begin{aligned} & d(q \vec{x}, q \vec{y})=\|q \vec{x}-q \vec{y}\|=\|q(\vec{x}-\vec{y})\| \\ = & |q| \cdot|\vec{x}-\vec{y}|=q d(\vec{x}, \vec{y}) \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \) Homogenital

?

LG

Answer 1

Definiere \(\|x\|:=d(x,0)\). Ob das eine Norm ist?

Gilt dann \(d(x,y)=\|x-y\|\) ?

Comments

So in etwa: (?)

Text erkannt:

Aufgabe 2
"<=" : Nun muss also auch \( d(x, 0) \) eine Norm sein und zwar:
\( \|x\|:=d(x, 0) \)
1. \( \|x\|=0 \Rightarrow x=0 \)
2. \( \|\alpha x\|=|\alpha| \cdot\|x\| \)
\( 3 .\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\| \)
2u: 1.
\( d(x, 0)=d(0,0)=\|0-0\|=\|0\|=0 \)
\( \underline{2 w Q:} \)
\( \begin{aligned} \|\alpha x\| & =|\alpha|\|x\|=d(q x, 0)=\|q x-\alpha \cdot o\| \\ & =|\alpha\|\| x-\partial\|=|\alpha|\| x \| \end{aligned} \)
년:
\( \|x+y\|=d(x+y, 0)=\|x+y\| \leq d(x, 0)+d(y, 0)-\|x\|+\|y\| \)
Für \( \mathrm{y}=\mathbf{0} \) müsste daher Gleichheit gelten, also folgt nun wieder:
\( \|x+0\|=\|x\|=d(x+0,0)=d(x, 0)=\|x+0\|=d(x, 0)+\underbrace{d(y, 0)}_{0}=\|x\| \)

---

Deinen "Beweis" für die Dreiecksungleichung habe ich nicht

nachvollziehen können. Wo und wie benutzt du denn

die Dreiecksungleichung von d ?

---

Bei 2. verwendest du doch im ersten und vierten Schritt bereits, dass \(||\cdot||\) eine Norm ist.

---

Alles klar, verstehe

---

Was hältst du von folgender Anwendung der Dreiecksungleichung

für d?

\(d(x+y,0)\leq d(x+y,y)+d(y,0)\) ?

---

ja kann ich nachvollziehen...Wie soll man jetzt den Term umformen??

---

\(d(x+y,y)=d(x+y-y,y-y)=d(x,0)=\|x\|\); denn

\(d\) ist translationsinvariant.

---

glaube langsam zu verstehen.Danke

Eine Frage, also reicht es zu zeigen, dass mit d(x,0) = ||x|| auch d(x,y) = || x - y || gilt?

Oder muss man allgemein beweisen, dass d eine Norm ist?

---

Das verstehe ich nicht. Wenn wir gezeigt haben,

dass \(x\mapsto d(x,0)\) eine Norm ist, müssen wir nur noch

zeigen, dass \(d\) von dieser Norm induziert wird,

dass also mit \(\|x\|=d(x,0)\) gilt \(d(x,y)=\|x-y\|\)

---

Also noch mal ganz deutlich. Wir müssen

zwei Dinge zeigen:

1. dass \(x\mapsto d(x,0)\) eine Norm \(\|.\|\) ist

und

2. dass für diese Norm \(d(x,y)=\|x-y\|\) gilt.

---

Ist angekommen. Und dass d(x,0) = ||x|| gilt haben wir oben ja gezeigt. Ist damit 1. schon bewiesen (Normbeweis)? Eigentlich nicht oder?

Entschuldige die Fragerei!

---

Ich weiß nicht mehr, welche Normeigenschaften wir

überprüft haben. Am besten, du zeigst nochmal alle

Eigenschaften aufgrund der Eigenschaften von d.

Zum Beispiel \(\|x\|=0\Rightarrow x=0\). Da hattest du

wohl noch ein Problem?

---

Ist angekommen. Und dass d(x,0) = ||x|| gilt haben wir oben ja gezeigt.

Nein. Das haben wir nicht, sondern wir haben

\(\|x\|\) als \(d(x,0)\) definiert. Das ist doch etwas ganz anderes.

Eine Definition kann man nicht zeigen.

---

Hey ermanus,

ist Normeigenschaft 2. so bewiesen?

Beim vorletzten Schritt bin ich mir nicht sicher, da ich dort die Normeigenschaft benutzt habe, da es mit natürlich schien.

Text erkannt:

\( \begin{array}{ll}\|x\|:=d(x, 0) & d(x, y)=\|x-y\| \\ \text { 2. }\|\alpha x\|=d(\alpha x, 0) & \stackrel{b}{=}\|\alpha x-0\| \\ & =\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|=|\alpha| d(x, 0)\end{array} \)

---

Ich fürchte, dass du heimlich wieder Normeigenschaften verwendest.

Ich würde es so darstellen:

\(\|\alpha x\|=d(\alpha x,0)=d(\alpha\cdot x,\alpha\cdot 0)=\)

Nun Homogenität von \(d\) anwenden:

\(=|\alpha|\cdot d(x,0)=|\alpha|\cdot \|x\|\).

---

ah du meine Güte. Ja klar! Danke

---

Ich bitte um Entschuldigung ....Ich weiss es ist spät, aber kann man die 1. Normeigenschaft so zeigen:

1. ||x|| = 0 dann x=0

||x|| = d(x,0)   und wenn jetzt x = 0 dann gilt

d(0 * x, 0 * 0) Nun Homogenität anwenden  0 * d(x,0) = 0

---

Aber warum soll daraus \(x=0\) folgen?

Ich glaube, die Sache ist viel einfacher, als

du denkst. Für eine Metrik d gilt ganz allgemein

\(d(x,y)=0\iff x=y\), also

\(0=\|x\|=d(x,0) \iff x=0\)

---

Vielen Dank! "Simpel" aber logisch.

---

Kann aber folgendes so geschrieben werden:

d(x,y) = d(x-y,y-y) Translationsinvarianz => d(x-y,0) = || x -y ||

Das war noch zu beweisen, wenn ich richtig liege

---

Ja. So kannst du das machen!

Nur etwas seltsam aufgeschrieben. Vielleicht eher so?

Wegen der Translationsinvarianz von \(d\) gilt

\(d(x,y)=d(x-y,y-y)=d(x-y,0)=\|x-y\|\).

---

God bless you!