iWann heißt eine Funktion f: R^2 -- R differenzierbar in (a,b)?

Question

Aufgabe:

i) Wann heißt eine Funktion f: R^2 → R differenzierbar in (a,b)?

ii)  Wann heißt eine Funktion f: R^2 → R stetig differenzierbar auf R^2?

iii) Geben Sie eine Formel für die Tangentialebene an einer stetig differenzierbaren Funktion f: R^2 → R an der Stelle (a,b) in R^2 an

iv ) Sei f(x,y)=e^x sin(y) und geben sie die Vorschrift l:R^2 → R für die Tangentialebene z=l(x,y) an f bei (a,b)=(1,pi)

Problem/Ansatz:

i) Eine Funktion heißt differenzierbar auf (a,b) wenn f differenzierbar in allen $$x_0 \in (a,b)$$ ist

ii) Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist

iii) z= f(a,b) + df/dx (a,b) (x-a) + df/dy(a,b) (y-b)

iv) Hier muss ich doch sicher iii) anwenden aber wo setze ich a und wo b ein

Answer 1

i) (a,b) ist hier nicht das offene Intervall von a bis b. Das würde ja auch überhaupt keinen Sinn ergeben, da das offene Intervall von a bis b überhaupt nicht im Definitionsbereich von f liegt. Stattdessen ist (a,b) hier ein Element von ℝ². Zur Erinnerung: der Definitionsbereich von f ist ℝ². Schau deshalb in die Definition von Differenzierbarkeit bei Funktionen mehrere Veränderlicher.