Begründen Sie, dass man den Abstand von R zu E mit einer Formel berechnen kann

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene E: \( \vec{x} \) = \( \vec{p} \) +s · \( \vec{u} \) + t · \( \vec{v} \)  und ein Punkt R mit dem Ortsvektor \( \vec{r} \) . Begründen Sie, dass man den Abstand von R zu E mit der Formel d(R;E) = \( \frac{| (\vec{r}- \vec{p}) · ( \vec{u} × \vec{v}) | }{ | \vec{u} × \vec{v} | } \)   berechnen kann

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das beweisen/begründen?..

Answer 1

Hallo

ist dir klar, dass \( \vec{u} \times \vec{v}\) ein Normalenvektor der Ebene ist, durch den Betrag dann der Einheitsnormalen Vektor  n ist, der wird mit dem Differenzvektor skalar multipliziert, damit hat man die Komponente von r-p in Richtung n, also den Abstand?

Gruß lul

Answer 2

Du kennst die Bedeutung des Skalarproduktes?

$$\frac{|\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$$
ist die Länge des Vektors a in Richtung des Vektors b.

Comments

Ja, aber warum kommt dann das Kreuzprodukt in diese Formel...

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Wurde jetzt bereits beantwortet.

Answer 3

Die Vektoren \( \vec{u} \) , \( \vec{v} \)  und \( \vec{r} -\vec{p} \) spannen einen Spat auf. Im Term \( \frac{| (\vec{r}- \vec{p}) · ( \vec{u} × \vec{v}) | }{ | \vec{u} × \vec{v} | } \)  wird das Volumen dieses Spats durch sein Grundfläche geteilt. Dadurch erhält man die Höhe des Spats (also den Abstand von R zur Grundfläche).