Question

Berechne unter Zuhilfenahme von Taylorpolynomen:

lim \( \frac{5x-sin(5x)}{e^9x-1-9x-(81x^2)/2} \)
^x→0

das soll \( e^{9x} \) im Nenner bedeuten

Kann mir jemand die Aufgabe erklären. Lösung ist 125/729

Comments

Der Wert von \( \frac{5x-sin(5x)}{e^{9x}-1-9x-(81x^2)/2} \) hängt davon ab, welchen Wert \(x\) hat.

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hab ich ausgebessert

Answer 1

Hier sollen im Zähler und Nenner jeweils die TPe eingesetzt werden. Die um 0, da es ja um den Grenzwert bei 0 geht. Rechne also die beiden Polynome mal aus (bis einschl. des quadratischen Terms reicht erstmal), dann bilde den Quotienten und überlege, was bei x=0 passiert.

Wie weit kommst Du damit?

Answer 2

Aloha :)

Für den Zähler gilt:$$\sin(5x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\,\frac{(5x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=5x-\frac{(5x)^3}{3!}+O(x^5)\quad\implies$$$$5x-\sin(5x)=\frac{(5x)^3}{6}+O(x^5)$$Für den Nenner gilt:$$e^{9x}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(9x)^n}{n!}=1+9x+\frac{81}{2}\,x^2+\frac{(9x)^3}{6}+O(x^4)\quad\implies$$$$e^{9x}-1-9x-\frac{81}{2}x^2=\frac{(9x)^3}{6}+O(x^4)$$

Wir bauen das zusammen:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{5x-\sin(5x)}{e^{9x}-1-9x-\frac{81}{2}\,x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{(5x)^3}{6}+O(x^5)}{\frac{(9x)^3}{6}+O(x^4)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{5^3}{6}+O(x^2)}{\frac{9^3}{6}+O(x)}=\frac{5^3}{9^3}=\frac{125}{729}$$