Aloha :)
$$\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}=\frac{\tan(x)}{\sqrt{\frac{cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}}=\frac{\tan(x)}{\sqrt{\frac{cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}}=\frac{\tan(x)}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}}=\frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{\frac{1}{|\cos(x)|}}$$$$\phantom{\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\cdot|\cos(x)|=\left\{\begin{array}{rl}\sin(x) &\text{für }x\in\left(-\frac\pi2\;;\;\frac\pi2\right)\\[1ex]\text{not defined} & \text{für }x=\pm\frac\pi2\\[1ex]-\sin(x) & \text{für }x\in\left[-\pi;-\frac\pi2\right)\cup\left(\frac\pi2;\pi\right]\end{array}\right.$$
Beachte die \(2\pi\)-Periode der Sinus- und Cosinus-Funktion, soll heißen, du kannst zu den angegebenen \(x\)-Werten beliebig oft \((\pm2\pi)\) addieren.
Für das wichtige Intervall \(x\in\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)\) gilt die Gleichung.
