Berechne die Randverteilungen von X und Y.

Question

Aufgabe:

Berechne die Randverteilungen von X und Y.

$$f_{(X,Y)}(x,y):=\begin{cases}xexp(-yx), falls\ 1\leq x \leq2  \land y \geq0 \\ 0 \ ,sonst\end{cases}$$

Answer 1

Ist \(x\notin[1,2]\), dann ist \(f_X(x) = 0 \). Ansonsten hat man

\(f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy = \int_0^\infty x\exp(-yx)\,dy = \lim_{R\to\infty}(-\exp(-Rx)+1) = 1 \).

Analog für \(f_Y\).