Bestimmen Sie die Ordnungen aller Elemente modulo 48

Question

Hallo,

könnte mir jemand bei dieses Aufgabe helfen ?

Bestimmen Sie die Ordnung aller Elemente modulo 48.

ich weiß nicht wie man bei dieses Aufgabe vorgehen soll

Comments

Kann es sein, dass es um die multiplikative Gruppe \(\big((\Z/48\Z)^*,\cdot\big)\) geht?

Answer 1

Es geht um die Ordnung der Elemente der additiven Gruppe

\(Z/48Z\). Die Ordnung eines Elementes \(a\) ist die Antwort

auf die Frage "Das kleinste wievielfache von \(a\) ergibt 0 ?",

also \(ord(a)=\min\{n\in \mathbb{N}^*:\; n\cdot a=0\}\).

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Hier gibt es natürlich noch Vereinfachungen, die einem helfen die Ordnung sehr schnell zu finden.

z.B.

die Ordnung von 0 ist immer 1,

ist a ein Teiler von 48, so ist z.B. 48/a die Ordnung.

...

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Text erkannt:

(1) modulo 48
\( l(48)=l(6 \cdot 8)=l\left(6 \cdot 2^{3}\right)=\left(6^{1} \cdot 6^{\circ}\right) \cdot\left(2^{3}-2^{4}\right)=(5 \cdot 4)=20 \)
Polenun: \( 1,2,3,6,8,12,16 \)
\( \begin{array}{ll} a=s \quad & s \equiv 5(48) \\ & s=25(48) \\ s^{3}=12 s(48)=29(48) \\ s^{4} & =29 \cdot S=145(48)=144(48)=1(48) \end{array} \)

hab das jetzt so gerechnet.

wäre ich jetzt fertig ?

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So, wie ich die Aufgabe verstehe, geht es um die additive Gruppe

\((Z/48Z,+)\), was willst du da mit Potenzen?

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Ich weiß nicht wie ich das Prüfen soll und wie ich die Rechenwege Aufschreiben soll.

und ein Freund hatte mir diesen Rechenweg gezeigt.

Answer 2

Bestimme die Ordnung von 0 modulo 48.

Bestimme die Ordnung von 1 modulo 48.

Bestimme die Ordnung von 2 modulo 48.

...

Bestimme die Ordnung von 47 module 48.

Comments

kannst du mir denn rechnenweg zeigen ?

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Um die Ordnung eines Elementes \(n\) zu bestimmen, berechne

• \(n\),
• \(n+n\),
• \(n+n+n\),
• ...
• \(\underbrace{n+\dots+n}_{48\text{ Summanden}}\),
  

Die Ordnung von \(n\) ist dann die Anzahl der verschiedenen Ergebnisse.

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verstehe ich nicht

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Sag bescheid, wenn du genauer benennen kannst wo deine Verständnisprobleme liegen.

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ich verstehe nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss damit ich diese Aufgabe lösen kann.

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Mache mit \(n=0\) das was ich in meinem Kommentar beschrieben habe.

Mache mit \(n=1\) das was ich in meinem Kommentar beschrieben habe.

Mache mit \(n=2\) das was ich in meinem Kommentar beschrieben habe.

Mache mit \(n=3\) das was ich in meinem Kommentar beschrieben habe.

Und so weiter bis \(n=47\).

Zur Kontrolle: die Ordnung von 0 ist 1. Die Ordnung von 1 ist 48 und die Ordnung von 2 ist 24.