Bestimmen Sie nur durch diese Informationen soweit wie möglich alle Einheiten und Nullteiler modulo 12, \varphi(12) …

Question

Hallo,

weis jemand wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss ?

Text erkannt:

1. Gegeben Sei die folgende Tafel der Potenzen der Elemente modulo 12:
\begin{tabular}{c|ccccccccccc}
\( a \) & \( a^{2} \) & \( a^{3} \) & \( a^{4} \) & \( a^{5} \) & \( a^{6} \) & \( a^{7} \) & \( a^{8} \) & \( a^{9} \) & \( a^{10} \) & \( a^{11} \) & \( a^{12} \) \\
\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 \\
3 & 9 & 3 & 9 & 3 & 9 & 3 & 9 & 3 & 9 & 3 & 9 \\
4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\
5 & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 \\
6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
7 & 1 & 7 & 1 & 7 & 1 & 7 & 1 & 7 & 1 & 7 & 1 \\
8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 & 8 & 4 \\
9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 \\
10 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\
11 & 1 & 11 & 1 & 11 & 1 & 11 & 1 & 11 & 1 & 11 & 1
\end{tabular}
Bestimmen Sie nur durch diese Informationen soweit wie möglich alle Einheiten und Nullteiler modulo \( 12, \varphi(12) \) und die Ordnungen aller Elemente modulo 12. Was können Sie mit Hilfe der Tafel über Primitivwurzeln, quadratische Reste und Nichtreste sagen?

Answer 1

1. Aussagen über die Einheiten und Folgerungen:

Die Einheiten eines kommutativen Rings bilden eine Gruppe E,

in unserem Falle die prime Restklassengruppe mod 12.

Da die Potenzen jedes Element von E irgendwann 1 ergeben,

z.B. \(x\in E\Rightarrow x^{ord(E)}=1\), sind die Einheiten genau die

Elemente, in deren Zeile eine 1 auftaucht.

Das ist genau dann der Fall, wenn \(a\in\{1,5,7,11\}\)

ist, d.h. \(E=\{1,5,7,11\}\), und damit \(\varphi(12)=4\).

Soweit erstmal. Jetzt solltest du selbst ein bisschen

weiterkommen.

Für alle \(a\in E\) gilt: \(a^2=1\). Kann es also

Primitivwurzeln geben?