Eigenvektoren richtig berechnen

Question

Aufgabe:

Ich habe Probleme bei den EWen

Als Beispiel Ich habe zu dem EW 1 die Matrix mit dem Gauß schon auf Zeilenstufenform gebracht und bekomme

$$\begin{pmatrix}  -4& -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$$

Ich berechne es dann so weiter:  ich sehe x₂ = t₂  und x₃= t₃ also sogesagt meine freien Parameter

Löse ich die Gleichung dann auf, bekomme ich als Lösung $$span\begin{pmatrix} -0,5\\1\\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0,5\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Bei der Lösung der Aufgabe kommt aber eigentlich als richtiges Ergebnis heraus: $$span\begin{pmatrix} 1\\-2\\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Meine Frage lautet, wo liegt mein Fehler, was muss ich anders machen?

Comments

kannst du die ganze aufgabe einmal reinstellen, also die Matrix vom Anfang.

Sonst ist es recht schwierig dir zu helfen!

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Die Matrix von Anfang an war $$\begin{pmatrix}  5& 3&-2 \\ -4 & -1&2\\ 8 &4&-3 \end{pmatrix}$$

und dann habe ich eben das charakteristische Polynom berechnet und dann die EW. Und für den EW 1 schaut dann eben nach dem Gauß die Matrix wie oben angegeben aus.

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Die Matrix passt nicht zur Lösung!

Answer 1

Wie kommst Du auf "....kommt aber eigentlich als richtiges Ergebnis heraus: ...."? Weil es in einer vorgegebenen Lösung so steht? Solche Lösungen sind in vielen Fällen nur EINE Möglichkeit, heißt also, eine abweichende Lösung muss nicht falsch sein.

Wie hier: Beide Lösungen sind richtig, weil die beiden spans (die Eigenräume) identisch sind. Man kann durchaus für ein- und denselben Vektorraum zwei verschiedene Basen angeben. Sogar unendlich viele (als Übung finde noch weitere).

Comments

Danke, für die schnelle Antwort. Ich glaube ich habe mich von der "Lösung" zu verunsichern lassen. Also ist es so wie ich es gelöst habe auch richtig und ich kann so bei der Aufgabe vorgehen?

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Ja, genau. Du hast alles richtig gemacht. Wenn die Eigenräume gefragt sind, gibst Du Dein span an. Wenn eine Basis für den Eigenraum gefragt ist, gibst Du Deine beiden Vektoren an.

Lass Dich von Lösungen nicht verunsichern, es kann oft mehrere richtige Lösungen geben. Und manchmal sind in vorgegebenen Lösungen auch Tippfehler.

Answer 2

Als kleine Hilfe noch wieso es den Gleichen Raum aufspannt:

$$ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \\ \\ und \\ λ_1  \cdot\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix} + λ_2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} \\ für: λ_1 = -2, λ_2 = 0$$

nutz lieber Brüche als Kommazahlen, das wird später dann einfacher! (:

PS: Beim nachrechen komme ich auch auf dein Ergebnis und durch "genaues" hinsehen siehst du wieso es das "gleiche" ist. :D

Answer 3

Ich schreibe aus Bequemlichkeit alle Vektoren

als Zeilenvektoren.

Sei \(U_1=Span((-1/2,1,0),(1/2,0,1))\),

und \(U_2=Span((1,-2,0),(0,1,1))\)

Es ist

\((1,-2,0)=-2(-1/2,1,0)\in U_1\) und

\((0,1,1)=(-1/2,1,0)+(1/2,0,1)\in U_1\),

also \(U_2\subseteq U_1\) und wegen \(\dim(U_1)=\dim(U_2)=2\)

folgt \(U_1=U_2\).