Gilt das Skalar Produkt nur für Spaltenvektor mal Spaltenvektor oder Zeilenvektor mal Spaltenvektor

Question

Aufgabe:

Gilt das Skalar Produkt nur für Spaltenvektor mal Spaltenvektor oder Zeilenvektor mal Spaltenvektor, weil im Internet steht: Skalarprodukt (Multiplikation zweier Vektoren): Vektoren können nur multipliziert werden, wenn der linke Vektor ein Zeilenvektor und der rechte Vektor ein Spaltenvektor ist. Dabei muss die Länge des Zeilenvektors gleich der Länge des Spaltenvektors sein.

Answer 1

>Vektoren können nur multipliziert werden, wenn der linke Vektor ein Zeilenvektor und der rechte Vektor ein Spaltenvektor ist.<

Streiche Vektor setzte Matrix!

Beim Skalarprodukt ist weder von Zeilen noch von Spalten die Rede, einfach

\(\small \vec{v} \, :=  \, \left(\begin{array}{r}v_1\\v_2\\...\\v_n\\\end{array}\right)\)

\(<\vec{a},\vec{b}>=\sum\limits_{i=1}^n a_i b_i\)

Answer 2

In der Schule ist es üblich, das Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren zu bilden. Wollte man das Skalarprodukt auf die Matrizenmultiplikation zurückführen, müsste der linke Vektor ein Zeilenvektor und der rechte Vektor ein Spaltenvektor ist. Dabei muss die Länge des Zeilenvektors gleich der Länge des Spaltenvektors sein.

Letztlich geht es um eine Schreibweise, die für den Schulgebrauch etwas anders gewählt wird als für die Anwendung der eigentlichen Mathematik.

Comments

Gilt eigentlich das Skalarprodukt auch für Zeilenvektor mal Zeilenvektor oder nur für spaltenVektor mal spaltenVektor und Zeilenvektor mal spaltenVektor ?

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Zeilenvektor mal Zeilenvektor ist nicht üblich.

Answer 3

Nach den üblichen Regeln der Matrizenrechnung müsste man zwei Vektoren (der gleichen Komponentenzahl) eigentlich immer in der Form  Zeilenvektor mal Spaltenvektor multiplizieren, um das gewöhnliche "Skalarprodukt" zu erhalten.

Wenn die ursprünglichen beiden Vektoren a und b beide als Spaltenvektoren gegeben sind, so müsste man das Skalarprodukt s also eventuell so schreiben:

       s = a^T • b

Normalerweise wird aber auf diese Komplikation bei der Schreibweise verzichtet.

Guck aber mal auch noch da nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt

Comments

Was genau ist mit

der gleichen Komponentenzahl

Gemeint? Ist damit die Anzahl der Elemente einer Matrix gemeint ?

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Gemeint? Ist damit die Anzahl der Elemente einer Matrix gemeint ?

Ja. Anzahl der Terme, Koordinaten etc.

Ich habe übrigens mal in verschiedenen Skripten nachgesehen. Einige Professoren scheinen die Koordinaten selbst als Komponenten zu bezeichnen. Einige bezeichnen die Vielfachen der Basisvektoren als Komponenten.

Bei Wikipdeia sind die Komponenten die Basisvektoren. Und ein dreidimensionaler Vektor besteht aus 3 Koordinaten. Einer x, y und z-Koordinate. Oder auch x1, x2 und x3-Koordinate.

Also einigen wir und auf Koordinaten. Zwei Vektoren kann man also skalar miteinander multiplizieren, wenn sie die gleiche Anzahl an Koordinaten haben.