ganzrationale funktionen mit parameter

Question

Hallo :)

Wir haben heute abschließende Aufgaben zum Themengebiet ganzrationale Funktionen bekommen, mit Parameter natürlich :)

Hier die Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen fk und gk mit k element R und k>0 durch

fk(x)1/2(x³-2kx²+k²x) und gk(x)=kx

a) Geben Sie fk(x) in faktorisierter Form an und entnehmen Sie daraus Lage sowie Vielfachheit der Nullstellen von fk.

b)Beschrieben Sie den Graphen Ggk mit eigenen Worten.

c)Für welche Werte von k haben die Graphen von fk und gk nur zwei gemeinsame Punkte? Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

d)Stellen Sie die Situation aus Teilaufgabe c in einem geeigneten Diagramm dar.

e)Welche Kurve der Schar enthält den Punkt P(-3;4)?


Ich habe die Nullstellen der Funktion fk(x) bestimmt und zwar: x1=0, x2/3=k

Nun meine Frage: Ich habe gerechnet, ohne die 1/2 reinmultipliziert zu haben bei der Funktion. Muss ich diese Nullstellen, sofern Sie denn stimmen, nun mit 1/2 multiplizieren?

Meine faktorisierte Form lautet: fk(x)=1/2x(x-k)²

Stimmt das?

Bei der Aufgabe b habe ich null Ahnung^^.

Bei c) habe ich beide Funktionen gleichgesetzt und komme auf: x³-2kx²+k²x-2kx=0

Dann habe ich x ausgeklammert, woraus mein erster Schnittpunkt S(0/0) lautet. Dann bleibt übrig: x²-2kx+k²-2k

Dann habe ich mit der abc-Formel gerechnet: Jetzt mein Problem. Ich soll da zwei Schnittpunkte haben, einen habe ich ja schon durch das Ausklammern von x, folglich brauche ich nur noch einen. Deswegen habe ich meine Diskriminante 0 gesetzt, da daraus ein Punkt folgt. Bei meiner Diskriminante habe ich 8k, folglich müsste k=0 sein, damit die Diskriminante 0 ergibt. Dann habe ich dies in meine abc-Formel für k eingesetzt und bekomme dann als Lösung wieder 0 heraus. Da mein erster Schnittpunkt gleich mein zweiter Schnittpunkt hier ist, habe ich ja im Endeffekt nur einen, aber ich benötige ja zwei. Wie geht es hier weiter???

Danke, wer sich das hier durchliest und mir Tipps gibt ;)

LG

Simon

Comments

Hallo Simon_w1997,

1/2(x³-2kx²+k²x)  l 1/2 kann zur Nullpunktsbestimmung entfallen
x^3 - 2k * x^2 + k^2 * x  l x ausklammern
x * ( x^2 - 2k * x + k^2 )  => x = 0
x^2 - 2*k*x + k^2 l 2 binomische Formel

( x - k ^2 = 0
x = k
f ( x ) = 1/2 * x * ( x - k ) * ( x - k )
x : 1 - fache Nullstelle = Schnittpunkt
x - 2 : 2.- fache Nullstelle = Berührpunkt

zu b.) gk(x) = k * x
Lineare Funktion. Der Graph ist eine Gerade.

Soviel von mir.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Danke, aber ich würde die Sache mit den Schnittpunkten trotzdem mal nach der von mir vertrauten Methode mit der Mitternachtsformel rechnen.

Ich liege doch damit richtig, dass ich die Diskriminante 0 setzen muss, dann einen Schnittpunkt habe ich bereits durch das Auskalmmern von x und wenn D=0 folgt ein zweiter. Mein D=8k

Folglich ist k=0

Ist das richtig? Wenn nein bitte die Diskrimante dieser Funktion aufzeigen.

Und wie müsste ich dann weiterrechnen, um den zweiten Schnittpunkt zu erhalten?

LG

Answer 1

Kurvenschar: fk(x) = 1/2·(x^3 - 2·k·x^2 + k^2·x) & gk(x) = k·x

 

Gegeben sind die Funktionen fk und gk mit k ∈ R und k > 0 durch

 

fk(x) = 1/2·(x^3 - 2·k·x^2 + k^2·x)

gk(x) = k·x

 

a) Geben Sie fk(x) in faktorisierter Form an und entnehmen Sie daraus Lage sowie Vielfachheit der Nullstellen von fk.

 

fk(x) = 1/2·x·(x - k)^2

 

Einfache Nullstelle bei 0 und doppelte Nullstelle bei k.

 

b) Beschreiben Sie den Graphen gk mit eigenen Worten.

 

Der Graph ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung k.

 

c) Für welche Werte von k haben die Graphen von fk und gk nur zwei gemeinsame Punkte? Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

 

fk(x) = gk(x)

1/2·(x^3 - 2·k·x^2 + k^2·x) = k·x

x^3 - 2·k·x^2 + k^2·x = 2·k·x

x^2 - 2·k·x + k^2 = 2·k

x^2 - 2·k·x + k^2 - 2·k = 0

x = k - √(2·k) ∨ x = k + √(2·k)

Nun müsste hiervon eine Lösung auch Null sein. Das erreicht man am besten mit k = 2

 

d) Stellen Sie die Situation aus Teilaufgabe c in einem geeigneten Diagramm dar.

 

e) Welche Kurve der Schar enthält den Punkt P(-3;4)?

 

fk(-3) = 4

1/2·((-3)^3 - 2·k·(-3)^2 + k^2·(-3)) = 4

- 1.5·k^2 - 9·k - 13.5 = 4

- 1.5·k^2 - 9·k - 17.5 = 0

Hier gibt es geine Lösung

 

gk(-3) = 4

k·(-3) = 4

k = - 4/3

Für k = - 4/3 enthält gk den gewünschten Punkt.

Comments

Ich habe nochmal eine Frage zu den Schnittpunkten:

Das mit dem Gleichsetzen habe ich ja alles verstanden und komme auch auf diese Zeile:

x² - 2·k·x + k² - 2·k = 0

Nun zu der Mitternachtsformel, da ich nicht verstehe, wie du auf die x-Werte kommst.

Mein a=1 / b=-2k / c=k²-2k

D=b²-4ac

D=(-2k)²-4*1*(k²-2k)

D=4k²-4k²+8k

D=8k

Ich rechne hier die Diskriminante vor, da diese ja meine Anzahl bestimmt.

Einen Schnittpunkt habe ich ja bereits durch das dividieren von x bei dir oben. Zwei will ich haben, also nur noch einne. Deswegen habe ich die Diskriminate 0 gesetzt, da daraus ein Punkt folgt.

Daraus folgt, wenn k=0 folgt ein weiterer Punkt. Ich verstehe nicht, was daran falsch ist.

Kannst du mir das bitte erklären?

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Dummerweise bestimmt die Diskriminante hier die Zusätzlichen Lösungen. Eine hast du ja bereits. Und die Diskriminante 8k kann ja nicht = 0 werden. Also müssen zwei Lösungen übereinstimmen.

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Warum kann D=8k nicht 0 werden?

Und wie kommst du dann von

x² - 2·k·x + k² - 2·k = 0

auf

x = k - √(2·k) ∨ x = k + √(2·k)

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damit 8k = 8 wird muss k = 0 sein. k soll aber > 0 sein.

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x² - 2·k·x + k² - 2·k = 0

Wende hier die pq oder abc-Lösungsformel an.

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Stimmt, ich hatte vergessen zu radizieren und kürzen ;)

Aber wie kommst du dann auf k=2

k - √(2·k)=0

Man kann es erraten aber wie bestimmst du das rechnerisch und wenn k=2. Wie komme ich dann auf meine Schnittpunkte?

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Das einfachste wär 

k - √(2·k)=0

√k·√k - √2·√k = 0

√k·(√k - √2) = 0

Kannst aber auch quadrieren.

k - √(2·k)=0

k = √(2·k)

k^2 = 2·k

k^2 - 2k = 0

k(k - 2) = 0

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√k·(√k - √2) = 0

Muss man da nicht mehr weiterrechnen?

Wie folgt dann k=2?

Das mit dem quaddrieren ist mir persönlich lieber, aber mein k=0 unten. Darf man das dann einfach ignorieren? Du meintest ja nur wenn k=2

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Sorry, k>0, hast recht ;)

Wie kann ich nun die Schnittpunkte bestimmen?

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√k·(√k - √2) = 0

Wann wird ein Produkt A * B = 0

Was folgt daraus für die obige Gleichung.

Und nochmal k = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich. Das ist also keine gültige Lösung.

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Ja. Gute frage. Wie bestimmst du Schnittpunkte? Die x-Koordinaten hast du ja jetzt. Fehlen also noch die y-Koordinaten. Wie bekommst du die denn ?

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Ich habe doch lediglich für k einen Wert. Muss ich dies dann für mein k in der ursprünglichen Mitternachtsformel einsetzen und den daraus folgenden x-Wert dann in irgendeine Funktion?

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In meiner Rechnung stehen doch die x-Koordinaten

x = k - √(2·k) ∨ x = k + √(2·k)

Einfach für k nun 2 einsetzen.

x = 2 - √(2·2) ∨ x = 2 + √(2·2)
x = 0 ∨ x = 4

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ok, vielen

Mal angenommen, ich hätte jetzt hier für x=1 und eben x=4

und nicht x=0

Dann hätte ich ja 3 Schnittpunkte, da wir ja oben x ausgeklammert haben, oder?

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ja genau. darum wussten wir ja auch das eine weitere lösung mit der bisherigen übereinstimmen muss.