Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Urne A gewählt hat, falls sie einen Zweier-Pasch gewürfelt hat?

Question

Aufgabe:

In den Urnen A, B, C liegen jeweils zwei fünfseitige Würfel. In Urne A liegt ein fünfseitiger Würfel, bei dem auf zwei Seiten die Ziffer 1 vermerkt ist und auf drei Seiten die Ziffer 2, sowie ein fairer fünfseitiger Würfel mit den Ziffern 1 bis 5. In den Urnen B und C sind je zwei fünfseitige Würfel mit den Ziffern 1 bis 5. Hermine wählt mit Wahrscheinlichkeit 1/3 eine der drei Urnen aus und würfelt mit beiden darin befindlichen Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Urne A gewählt hat, falls sie einen Zweier-Pasch gewürfelt hat?

Ansatz:

Ich habe mir ein Baumdiagramm aufgemalt, das die Abfolge: "Wahl der Urne - Ergebnis des ersten Würfels (2 oder nicht 2) - Ergebnis des zweiten Würfels" hat. Dann habe ich ausgerechnet, wie wahrscheinlich es ist, Urne A zu wählen und dort einen Zweierpasch zu werfen: 1/3 * 3/5 * 1/5 = 3/75. Die Rechnung für Urne B und C erfolgt analog 1/3 * 1/5 * 1/5 = 1/75.

Nun dachte ich, könnte das ganze doch abgekürzt werden: Insgesamt beträgt die Wahrscheinlichkeit einen Zweierpasch zu werfen 3/75 + 1/75 + 1/75 = 5/75.

3/75 von diesen 5/75 sind die Wahrscheinlichkeit, dass es in Urne A passiert, somit sollte die Wahrscheinlichkeit bei einem Zweierpasch Urne A gewählt wurde doch 3/5 betragen, oder übersehe ich dabei etwas?

Comments

... sowie ein fairer fünfseitiger Würfel

Was für eine Geometrie würde so ein Körper haben?

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Vielleicht ein Prisma mit einem regulären Fünfeck als Grundfläche und einer im Vergleich dazu sehr großen Höhe?

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Dem würde ich eher "unfairer siebenseitiger Nichtwürfel" sagen.

Vielleicht ein normaler Würfel und so lange würfeln, bis man keine 6 würfelt? Die Wahrscheinlichkeit jeder Zahl von 1 bis 5 wäre dann

\( \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{k}=\frac{1}{5} \)

Was für eine Geometrie würde ein fairer fünfseitiger Würfel haben?

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Auf jeder der beiden Grundflächen des regelmäßigen fünfseitigen Prismas muss natürlich noch eine Spitze angebracht werden.

Answer 1

Ereignis A: Pasch mit Urne A

P(A)= P(22) = 1/3* (3/5*1/5) = 0,04

P(Pasch) = 1/3* (3/5*1/5+ 1/5*1/5*2) = 0,0667

P(A)|P(B) = 0,6

Answer 2

Deine Überlegungen sind soweit richtig. Jetzt brauchst du nur noch rechnen

P(A | 2er Pasch) = (3/75)/(5/75) = 3/5 = 0.6

oder etwas ausführlicher

P(A | 2er Pasch) = (1/3·3/5·1/5) / (1/3·3/5·1/5 + 2/3·1/5·1/5) = 3/5 = 0.6

Comments

Danke, MC,

ich habe mal wieder was überlesen und es korrigiert.

Und mir dabei unnötige Arbeit gemacht.

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Kein Problem. Jetzt ist nur noch dein formaler Aufschrieb unschön.

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Meinst du P(22)?

Es muss p(22) lauten.

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P(22) würde ich interpretieren als die Wahrscheinlichkeit einen 2er Pasch zu werfen und nicht mit Urna A einen 2er-Pasch zu werfen. Das hast du Aber mit Ereignis A so definiert.

p(Pasch) sollte also eher P(22) lauten

P(A)|P(B) muss eher P(A) / P(B) lauten wobei B noch nicht definiert war und dort dann eher 22 lauten sollte.

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Du hast Recht.

Das ist mir durcheinandergeraten.

Vlt. liegt es mit am Kälteschock im August. (11° im Moment)

Answer 3

	2er-Pasch	nicht 2er-Pasch	Total
Urne A	(3/5 * 1/5) * 1/3	(1 - 3/5 * 1/5) * 1/3	1 / 3
nicht Urne A	(1/5 * 1/5) * 2/3	(1 - 1/5 * 1/5) * 2/3	2 / 3
Total	1 / 15	14 / 15	100 %

p (A wenn 2er-Pasch) = ((3/5 * 1/5) * 1/3) / (1 / 15) = 60 %