Finden Sie a,b,c und d, sodass: (18x + 13z)^2 - (12x - 17y)^2 = (ax + 13z + by)(-17y + cx +dz)

Question

Aufgabe:

"Finden Sie die Zahlen a,b,c und d, sodass für x,y und z gilt:  (18x + 13z)² - (12x - 17y)²  = (ax + 13z + by)(-17y + cx +dz)"

Problem/Ansatz:

Als Hilfe wird geschrieben, dass man die 3. binomische Formel rückwärts anwenden soll.

Da diese (a + b) (a - b) ist, müssten ja die Zahlen vor x, y und z immer die gleichen sein, weil sonst a ja nicht a bleibt (?)

So habe ich zumindest die Antwort für b = 17, und d=13 herausgefunden (wobei auch d=8 als richtig anerkannt wird, weshalb ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich das Prinzip überhaupt verstanden habe..)

Aber wie man auf a und c kommen kann verstehe ich leider gar nicht.

Deshalb wäre es sehr lieb wenn mir das jemand erklären könnte.

Comments

Hallo,

fehlt hinter der -17 ein y?

Ohne y:

\( 180 x^{2}+408 x y+468 x z-289 y^{2}+169 z^{2} \\=a c x^{2}+a d x z-17 a x+b c x y+b d y z-17 b y+13 c x z+13 d z^{2}-221 z\)

Das ergibt keinen Sinn.

Mit y:

(30x+13z-17y)(6x+17y+13z)=(ax + 13z + by)(-17y + cx +dz)

Wegen der -17y stelle ich um:

(30x+13z-17y)(6x+17y+13z)=( cx +dz-17y)(ax + by + 13z)

c=30; d=13; a=6; b=17

:-)

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Oh, ja das y fehlt tatsächlich.. ^^‘ mein Fehler

Danke dass du es trotzdem verstehen konntest und geantwortet hast :D

Answer 1

(18x + 13z)² - (12x - 17y)²

=  ((18x + 13z)+ (12x - 17y))* ((18x + 13z)- (12x - 17y))

= (30x+13z-17y)(6x+17y+13z).

Vergleiche das klammernweise mit

(ax + 13z + by)(-17 + cx +dz)"

Damit ist a=30, b=-17, c=6 und d=13. Dazu muss y allerdings 1 sein.

Wenn du die Klammernzuordnung vertauschst, also

(30x+13z-17y) als (-17 + cx +dz) ansiehst und

(6x+17y+13z). als (ax + 13z + by) nimmst, bekommst du andere Belegungen.

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Vielen Dank für die Antwort!

Hab es jetzt verstanden :)