Kern einer Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Gesucht ist im Zusammenhang mit dem Bestimmen einer Jordanbasis der Kern der folgenden Matrix:

$$ \begin{pmatrix}  1&1&0&0 \\ -1 & -1 &0&0 \\ 1 &1&1&1 \\ -1&-1&-1&-1 \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Ich habe die Matrix schon durch Gauß-Elimination auf diese Form gebracht:

$$ \begin{pmatrix}  1&1&1&1 \\ 0 &0&1&1 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} $$

Mein normaler Ansatz wäre jetzt, wie sonst auch,  zwei Variablen frei zu wählen:

$$ x_1=\lambda ,\quad x_2=\mu $$

Dadurch erhalte ich in der ersten Gleichung:

$$ \lambda + \mu + x_3 +x_4 =0 $$

Jedoch folgt aus der zweiten Gleichung:

$$x_3 = -x_4$$

Was eingesetzt in die erste Gleichung die beiden Variablen wieder eliminiert. Wie komme ich jetzt auf den span der beiden Basisvektoren? Irgendwas scheine ich grade zu übersehen. Danke im Voraus!

Comments

Mein normaler Ansatz wäre jetzt, wie sonst auch, zwei Variablen frei zu wählen:

Du kannst im Allgemeinen nicht irgendwelche 2 Variablen frei wählen. Gerade in Deinem Beispiel gilt ja x_1+x_2=0, also sind diese beiden Variablen nicht frei wählbar.

Informiere Dich in Deinen Unterlagen, wie die frei wählbaren Variablen anhand der Struktur des Gauß-End-Schemas bestimmt werden können.

Answer 1

Hallo

eigentlich hast du ja auch schon x1=-x2  du musst nur deiner Gleichung glauben

also hast du etwa x1=x2=0 x3=1 x4=-1 oder entsprechend  x3=x4=0 und x1=1 x2=-1

Gruß lul