Finden Sie die minimale Distanz zwischen diesen Flächen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die folgenden Flächen in ℝ³:

a ↔ x² + y² - z² = 2

b ↔ -2x + 2y - z = -4

Finden Sie die minimale Distanz zwischen diesen Flächen.

Problem/Ansatz:

Wenn man versucht die Distanz zwischen diesen beiden Flächen unter den Bedingungen mit Lagrange zu minimieren, kriegt man ein Gleichungssystem mit 8 Gleichungen und 8 Unbekannten, was nicht leicht zu lösen ist und in ner Prüfung hat man ja kein Matlab oder so.

Gibt es hier eine einfachere alternative, wie z.B. etwas mit den Normalvektoren dieser Flächen zu machen?

Answer 1

Vielleicht siehst du, dass der Punkt (1, -1, 0) beide Gleichungen erfüllt. Dann wäre der Abstand doch Null.

Wie kommt man darauf. Zuerst mal eine Koordinate (ich habe z) genommen frei wählen. 0 liegt als einfachsten am naheliegendsten. Dann probieren das restliche Gleichungungssysstem zu lösen. Das ging hier zum Glück nur durch ansehen.

Comments

Vielen Dank! Und wie würde man so etwas lösen, wenn der Punkt nicht beide Gleichungen erfüllen würde?

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Du kannst Punkte von Fläche A suchen bei denen die Tangentiale Ebene im Punkt parallel zur Ebene der Fläche B ist.

Answer 2

Wie die Lösung der Aufgabe gedacht ist, hängt auch davon ab, bei welchem Thema sie gestellt wird.

Auffallend ist ja, dass gar nicht nach den Punkten gefragt ist, wo die minimale Distanz auftritt (das würde auf Lagrange hindeuten), sondern nur nach der Distanz selbst.

Eine einfache geometrische Lösung:

Fläche \(a\) ist ein (einschaliges) Hyperboloid, Fläche \(b\) ist eine Ebene. Mit minimaler räumlicher Vorstellung ist klar, dass die Flächen (egal wie \(b\) aussieht) sich schneiden müssen, also ist die gesuchte Distanz 0. Fertig.

Bei einem zweischaligen Hyperboloid (erste Gleichung mit rechter Seite \(<0\)) wäre die Lage schwieriger zu beurteilen.