Aufgabe:
Welche Aussage über die Funktion \( f(x, y, z) = \cos(x) \cos(y) + z^2 - 4z + 9 \) ist wahr?
A) f hat kein lokales Minima
B) f hat kein lokales Maxima
C) f hat keinen Sattelpunkt
D) f hat lokales Minima, lokales Maxima und Sattelpunkt
Hab die kritischen Punkte durch die ersten Ableitungen berechnet:
Für \( k, l \in \mathbb{Z} \):
\(\begin{pmatrix} k\pi , l\pi , 2 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} + k\pi & \frac{\pi}{2} + l\pi & 2 \end{pmatrix}\)
\( H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{bmatrix} \)
\( H(f) = \begin{bmatrix} -\cos(x) \cos(y) & \sin(x) \sin(y) & 0 \\ \sin(x) \sin(y) & -\cos(x) \cos(y) & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)
Wenn wir die Hessian jetzt in \(\begin{pmatrix} k\pi , l\pi , 2 \end{pmatrix}\) evaluieren:
Wir haben:
\( \begin{array}{rl} \cos(k\pi) & = (-1)^k \\ \cos(l\pi) & = (-1)^l \\ \sin(k\pi) & = 0 \\ \sin(l\pi) & = 0 \end{array} \)
\( H(f) = \begin{pmatrix} (-1)^k (-1)^l & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^k (-1)^l & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^{k+l} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{k+l} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Hier sehen wir durch die Eigenwerte, die man von der diagonalen ablesen kann, dass je nach dem ob k gerade/ungerade und l gerade/ungerade ist, dass die Hessian positiv-definite (positiv definiert) sein kann oder unbestimmt (indefinite). Also habe wir in diesem Punkt ein Maximum und Sattelpunkt je nach Wahl von k und l.
Wenn wir die Hessian jetzt in \(\begin{pmatrix} \frac{\pi}{2} + k\pi , \frac{\pi}{2} l\pi , 2 \end{pmatrix}\) evaluieren:
\( \begin{array}{rl} \cos\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) & = 0 \\ \cos\left(\frac{\pi}{2} + l\pi\right) & = 0 \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) & = (-1)^k \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} + l\pi\right) & = (-1)^l \end{array} \)
\( H(f) = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^k (-1)^l & 0 \\ (-1)^k (-1)^l & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Methode mit Determinante um die Natur der Hessian zu bestimmen:
\(D_1 = 0 \)
\(D_3 ≠ 0 \)
D.h. hier ist die Hessian indefinite (unbestimmt) also haben wir wieder einen Sattelpunkt.
Die Antwort auf die Frage müsste B) kein lokales Maxima sein. Ist dies richtig? Bin euch für jede Hilfe dankbar!
