Lagrange: Berechne stationäre Punkte von f(x,y) = (3x+2y)x

Question

Aufgabe:

Berechne Stationäre punkte von f(x,y) = (3x+2y)x

unter der Nebenbedingung g(x) = (2x^3) + (3yx^2) - 40

Problem/Ansatz:

Prinzipiell ist mir klar, wie Lagrange funktioniert, lediglich finde ich nur den stationären Punkt (2,2) findet wer noch andere?

Comments

Nebenbedingung g(x)= (2x³)+ (3yx²)-40

Das sieht nicht nach einer Bedingung aus, sondern eher nach einer Funktionsgleichung.

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Du meinst als Nebenbedingung $$2x^{3}+ 3yx^{2}-40 =0$$ oder?

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Wie lautet die Nebenbedingung?

Answer 1

Hallo Nic,

... finde ich nur den stationären Punkt (2,2) findet wer noch andere?

Nein, nur die eine!

Für diese Funktion $$f(x,y)=(3x+2y)x \to \text{opt}$$soll ein Optimum unter der Nebenbedingung $$2x^{3}+3yx^{2}-40 = 0$$gefunden werden. Aufstellen der Lagrangefunktion nebst Ableiten liefert:$$L(x,y,\lambda)= 3x^2+2xy + \lambda(2x^{3}+3yx^{2}-40) \\ L_x = 6x+ 2y + \lambda(6x^2 +6xy) \to 0 \\ L_y = 2x + \lambda(3x^2) \to 0 \\ \begin{aligned} (6x+ 2y)\cdot 3x^2 &= 2x\cdot(6x^2 +6xy) &&|\,\div 2x, \quad x=0\\ (3x+ y)\cdot 3x &= 6x^2 +6xy\\ 9x^2+ 3xy &= 6x^2 +6xy \\ 3x^2&= 3xy &&|\,\div 3x\\ x &= y \end{aligned}$$Die Zwischenlösung \(x=0\) entfällt, da sie die Nebenbedingung nicht erfüllt. Einsetzen von \(x=y\) in die Nebenbedingung liefert$$\begin{aligned}\implies 2x^{3}+3x^{3}-40 &= 0 \\ x^3 &= 8 \\ x &= 2 \\ \end{aligned}$$nur eine Lösung (im Reellen!). Die Graphik bestätigt das:

https://www.desmos.com/calculator/i8at7dgjey

Nur bei \((2|\,2)\) liegt ein Punkt bei dem die Höhenlinien von \(f\) parallel zur Nebenbedingung (rot) verlaufen. Nach der Graphik müsste dies ein lokales Minimum sein. Es gibt aber andere Bereiche (\(x \in(\approx -2,2 ... 0)\)) bei denen der Funktionswert von \(f\) deutlich kleiner ist.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank

Echt Klasse Lösung mit super Bildern, dann hab ich wohl doch nichts übersehen

Answer 2

Weg ohne Lagrange:

\(f(x,y) = (3x+2y)*x\) soll optimal werden

NB: \(2x^{3}+ 3yx^{2}-40 =0\)       \( 3yx^{2} =40-2x^3\)      \( y =\frac{40-2x^3}{3x^{2} }\)

\(f(x) = 3x^2+\frac{80x-4x^4}{3x^{2} }\)

\(\frac{df(x)}{dx} =6x+\frac{(80-16x^3)*3x^{2}-(80x-4x^4)*6x}{9x^{4} }\)

\(6x+\frac{(80-16x^3)*3x^{2}-(80x-4x^4)*6x}{9x^{4} }=0\)

\(x=2\)        \( y(2) =\frac{40-2*2^3}{3*2^{2} }=2\)

\(f(2,2) = (3*2+2*2)*2=20\)